Каковы площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей для равностороннего треугольника со стороной длиной

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.

1. Начнем с поиска площади равностороннего треугольника. Для этого используем формулу площади треугольника:

\[Площадь = \frac{{a^2 \cdot \sqrt{3}}}{4}\]

где \(a\) - длина стороны треугольника.

В нашем случае, длина стороны треугольника равна 10, поэтому подставим значение в формулу:

\[Площадь = \frac{{10^2 \cdot \sqrt{3}}}{4}\]

2. Теперь рассмотрим вписанную окружность. Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника.

Для равностороннего треугольника, радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

\[Радиус вписанной окружности = \frac{{a \cdot \sqrt{3}}}{6}\]

Подставим значение длины стороны треугольника (a = 10) в формулу:

\[Радиус вписанной окружности = \frac{{10 \cdot \sqrt{3}}}{6}\]

3. Теперь рассмотрим описанную окружность. Описанная окружность - это окружность, проходящая через все вершины треугольника.

Для равностороннего треугольника, радиус описанной окружности можно найти по формуле:

\[Радиус описанной окружности = \frac{{a}}{\sqrt{3}}\]

Подставляем значение длины стороны треугольника (a = 10) в формулу:

\[Радиус описанной окружности = \frac{{10}}{\sqrt{3}}\]

Таким образом, мы получили ответы на нашу задачу:

Площадь равностороннего треугольника со стороной длиной 10 равна \(\frac{{10^2 \cdot \sqrt{3}}}{4}\).
Радиус вписанной окружности составляет \(\frac{{10 \cdot \sqrt{3}}}{6}\).
Радиус описанной окружности составляет \(\frac{{10}}{\sqrt{3}}\).