Каковы периоды колебаний маятников с длинами 27 см и 108 см? Какое отношение их энергий, если массы шариков одинаковы?

Мы можем найти период колебаний маятников, используя формулу периода колебаний:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]

где \( T \) - период колебаний, \( \pi \) - математическая константа, \( L \) - длина маятника и \( g \) - ускорение свободного падения.

Для первого маятника с длиной 27 см:

\[ T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{0.27}{9.8}} \]

\[ T_1 = 2\pi \sqrt{0.02755} \]

\[ T_1 = 2\pi \cdot 0.1659 \]

\[ T_1 \approx 1.04 \, \text{сек} \]

Для второго маятника с длиной 108 см:

\[ T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{1.08}{9.8}} \]

\[ T_2 = 2\pi \sqrt{0.1102} \]

\[ T_2 = 2\pi \cdot 0.3319 \]

\[ T_2 \approx 2.08 \, \text{сек} \]

Отношение периодов будет:

\[ \frac{T_2}{T_1} = \frac{2.08}{1.04} \approx 2 \]

Следовательно, период колебаний маятника с длиной 108 см в два раза больше, чем период колебаний маятника с длиной 27 см.

Чтобы найти отношение энергий маятников, мы можем использовать формулу энергии потенциальной (потенциальной энергии маятника - это энергия, которую он имеет из-за своего положения):

\[ E = mgh \]

где \( E \) - энергия маятника, \( m \) - масса маятника, \( g \) - ускорение свободного падения и \( h \) - высота маятника.

Поскольку массы шариков одинаковы, отношение их энергий будет просто отношением высот:

\[ \frac{E_2}{E_1} = \frac{h_2}{h_1} \]

Мы можем найти высоту маятника, используя формулу:

\[ h = L - L_0 \]

где \( L \) - длина маятника, \( L_0 \) - длина нити маятника.

Для первого маятника с длиной 27 см:

\[ h_1 = 0.27 - 0 = 0.27 \, \text{м} \]

Для второго маятника с длиной 108 см:

\[ h_2 = 1.08 - 0 = 1.08 \, \text{м} \]

Отношение энергий будет:

\[ \frac{E_2}{E_1} = \frac{1.08}{0.27} \approx 4 \]

Следовательно, отношение энергий маятника с длиной 108 см к маятнику с длиной 27 см составляет 4.

Пожалуйста, обратите внимание, что все расчеты выполнены с использованием округленного значения \( \pi = 3.14 \) и \( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 \)