Каковы периоды колебаний двух математических маятников, с разными длинами: один с длиной l1 = 10 см и другой с длиной

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы, связанные с периодом колебаний математического маятника и его энергией.

Период колебаний \(T\) математического маятника выражается формулой:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\]
где \(l\) - длина маятника, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Отношение периодов колебаний двух маятников с разными длинами будет выглядеть следующим образом:
\(\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}\)

Теперь, рассмотрим энергию системы математического маятника. Энергия кинетическая \(E_{kin}\) и энергия потенциальная \(E_{pot}\) связаны следующим образом:
\[E_{pot} = E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\]
где \(m\) - масса шарика, \(v\) - скорость шарика, \(\theta\) - угол отклонения маятника.

Отношение энергий будет выглядеть так:
\(\frac{E_{pot_1}}{E_{pot_2}} = \frac{l_1}{l_2}\)

Теперь приступим к решению задачи.

1. Найдем периоды колебаний обоих математических маятников:
Для маятника с длиной \(l_1 = 10\) см:
\[T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{0.1}{9.8}}\]

Для маятника с длиной \(l_2 = 20\) см:
\[T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{0.2}{9.8}}\]

Вычислим значения:
\[T_1 \approx 0.636 \, \text{сек}\]
\[T_2 \approx 0.899 \, \text{сек}\]

2. Определим отношение периодов колебаний:
\(\frac{T_1}{T_2} \approx \sqrt{\frac{0.1}{0.2}} \approx 0.711\)

Таким образом, период колебаний маятника с длиной 10 см примерно в 0.711 раза меньше периода колебаний маятника с длиной 20 см.

3. Найдем отношение энергий шариков при одинаковых массах:
\(\frac{E_{pot_1}}{E_{pot_2}} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{0.1}{0.2} = 0.5\)

Таким образом, энергия потенциальная маятника с длиной 10 см составляет 0.5 от энергии потенциальной маятника с длиной 20 см при одинаковых массах шариков.

Теперь мы можем дать максимально подробный и обстоятельный ответ на задачу о периодах колебаний и энергиях двух математических маятников с разными длинами и одинаковыми угловыми амплитудами.