Каковы период и амплитуда вертикальных колебаний системы, если пружина с верхним закреплённым концом подвешена и на неё подвешен груз массой 0,4 кг? Жёсткость пружины равна 45 Н/м. В начальный момент времени груз оттягивают вниз на 22 см от положения равновесия и сообщают ему скорость 2,1 м/с. При расчётах используйте значение π=3,14. Ответы округлите до сотых. Ответ: период колебаний составляет секунды, а амплитуда колебаний равна.
Ящерка
Для начала, давайте найдем период колебаний системы.
Период колебаний обычно обозначается символом \(T\) и определяется как время, требуемое для завершения одного полного цикла колебаний. Формула для вычисления периода связана с другим физическим параметром, называемым частотой колебаний, и выглядит следующим образом:
\[ T = \frac{1}{f} \]
где \( f \) - частота колебаний.
Частота колебаний, ihrer (f), выражает количество колебаний, выполняемых системой за единицу времени.
Теперь мы применим законы гармонических колебаний, чтобы найти частоту системы. Закон Гука устанавливает, что сила \( F \), действующая на пружину, прямо пропорциональна её деформации \( x \):
\[ F = -kx \]
где \( k \) - коэффициент жесткости пружины, а \( x \) - деформация пружины.
В данной задаче начальная деформация составляет 22 см, что составляет 0,22 м. Для определения деформации помним, что одна из формул работы тяжести: \( m \cdot g \cdot h \), где \( m \) - масса груза, \( g \) - ускорение свободного падения (принимаем равным 9,8 м/с²), а \( h \) - высота отклонения от положения равновесия.
Теперь мы можем выразить силу упругости как:
\[ F = -kx = -m \cdot g \cdot h \]
Теперь напишем уравнение колебаний:
\[ m \cdot a = -k \cdot x \]
\[ a = -\frac{k}{m} \cdot x \]
\[ \frac{{d^2x}}{{dt^2}} = -\frac{k}{m} \cdot x \]
Такое уравнение называется уравнением гармонического осциллятора, и его решение имеет вид:
\[ x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi) \]
где \( A \) - амплитуда колебаний, \( \omega \) - угловая частота колебаний, \( t \) - время, \( \phi \) - начальная фаза колебаний.
Теперь мы можем определить угловую частоту колебаний:
\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \]
Амплитуда колебаний \( A \) представляет собой максимальное отклонение системы от положения равновесия. В этой задаче амплитуда равна изначальной деформации \( x \):
\[ A = x = 0.22 \, \text{м} \]
Для определения фазы \( \phi \) нам нужно учитывать начальную скорость груза. Фаза обычно определяется, когда груз проходит положение равновесия в положительном направлении (то есть, когда \( x > 0 \) и \( v > 0 \)).
Мы можем использовать закон сохранения энергии, чтобы найти начальную скорость. Потенциальная энергия пружины в начальный момент времени полностью превращается в кинетическую энергию \(\frac{1}{2} m v^2\):
\[ \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2 \]
\[ v = \sqrt{\frac{k x^2}{m}} \]
\[ v = \sqrt{\frac{45 \, \text{Н/м} \cdot (0.22 \, \text{м})^2}{0.4 \, \text{кг}}} \]
\[ v \approx 2.31 \, \text{м/с} \]
Мы можем использовать арксинус, чтобы определить фазу:
\[ \phi = \arcsin\left(\frac{v}{\omega \cdot A}\right) \]
\[ \phi = \arcsin\left(\frac{2.31}{\sqrt{45/0.4} \cdot 0.22}\right) \]
\[ \phi \approx 0.72 \, \text{рад} \]
Теперь, когда у нас есть все параметры, мы можем вычислить период колебаний \( T \):
\[ T = \frac{2\pi}{\omega} \]
\[ T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}} \]
\[ T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{45 \, \text{Н/м}}{0.4 \, \text{кг}}}} \]
\[ T \approx 1.18 \, \text{сек} \]
Таким образом, период колебаний составляет около 1.18 секунд, а амплитуда колебаний равна 0.22 метра.
Период колебаний обычно обозначается символом \(T\) и определяется как время, требуемое для завершения одного полного цикла колебаний. Формула для вычисления периода связана с другим физическим параметром, называемым частотой колебаний, и выглядит следующим образом:
\[ T = \frac{1}{f} \]
где \( f \) - частота колебаний.
Частота колебаний, ihrer (f), выражает количество колебаний, выполняемых системой за единицу времени.
Теперь мы применим законы гармонических колебаний, чтобы найти частоту системы. Закон Гука устанавливает, что сила \( F \), действующая на пружину, прямо пропорциональна её деформации \( x \):
\[ F = -kx \]
где \( k \) - коэффициент жесткости пружины, а \( x \) - деформация пружины.
В данной задаче начальная деформация составляет 22 см, что составляет 0,22 м. Для определения деформации помним, что одна из формул работы тяжести: \( m \cdot g \cdot h \), где \( m \) - масса груза, \( g \) - ускорение свободного падения (принимаем равным 9,8 м/с²), а \( h \) - высота отклонения от положения равновесия.
Теперь мы можем выразить силу упругости как:
\[ F = -kx = -m \cdot g \cdot h \]
Теперь напишем уравнение колебаний:
\[ m \cdot a = -k \cdot x \]
\[ a = -\frac{k}{m} \cdot x \]
\[ \frac{{d^2x}}{{dt^2}} = -\frac{k}{m} \cdot x \]
Такое уравнение называется уравнением гармонического осциллятора, и его решение имеет вид:
\[ x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi) \]
где \( A \) - амплитуда колебаний, \( \omega \) - угловая частота колебаний, \( t \) - время, \( \phi \) - начальная фаза колебаний.
Теперь мы можем определить угловую частоту колебаний:
\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \]
Амплитуда колебаний \( A \) представляет собой максимальное отклонение системы от положения равновесия. В этой задаче амплитуда равна изначальной деформации \( x \):
\[ A = x = 0.22 \, \text{м} \]
Для определения фазы \( \phi \) нам нужно учитывать начальную скорость груза. Фаза обычно определяется, когда груз проходит положение равновесия в положительном направлении (то есть, когда \( x > 0 \) и \( v > 0 \)).
Мы можем использовать закон сохранения энергии, чтобы найти начальную скорость. Потенциальная энергия пружины в начальный момент времени полностью превращается в кинетическую энергию \(\frac{1}{2} m v^2\):
\[ \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2 \]
\[ v = \sqrt{\frac{k x^2}{m}} \]
\[ v = \sqrt{\frac{45 \, \text{Н/м} \cdot (0.22 \, \text{м})^2}{0.4 \, \text{кг}}} \]
\[ v \approx 2.31 \, \text{м/с} \]
Мы можем использовать арксинус, чтобы определить фазу:
\[ \phi = \arcsin\left(\frac{v}{\omega \cdot A}\right) \]
\[ \phi = \arcsin\left(\frac{2.31}{\sqrt{45/0.4} \cdot 0.22}\right) \]
\[ \phi \approx 0.72 \, \text{рад} \]
Теперь, когда у нас есть все параметры, мы можем вычислить период колебаний \( T \):
\[ T = \frac{2\pi}{\omega} \]
\[ T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}} \]
\[ T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{45 \, \text{Н/м}}{0.4 \, \text{кг}}}} \]
\[ T \approx 1.18 \, \text{сек} \]
Таким образом, период колебаний составляет около 1.18 секунд, а амплитуда колебаний равна 0.22 метра.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
