Каковы оптимальные размеры прямоугольного участка площадью 4900 м², чтобы минимизировать количество материала

Хорошо! Чтобы решить задачу, давайте первым делом определим функцию, которую нужно минимизировать. Обозначим длину прямоугольного участка через \(x\), а ширину через \(y\). Тогда площадь участка выражается формулой:

\[ S = x \cdot y \]

Для того чтобы минимизировать количество материала, которое понадобится для ограды, нужно найти функцию, зависящую от одной переменной, которую можно использовать для выражения периметра ограды.

Периметр ограды выражается формулой:

\[ P = 2x + 2y \]

Для нахождения минимального значения этой функции воспользуемся производной. Найдем производные функций \(S\) и \(P\) по переменной \(x\):

\[\frac{dS}{dx} = y\]
\[\frac{dP}{dx} = 2\]

Теперь приравняем полученные производные к нулю, чтобы найти критические значения \(x\):

\[y = 0\]
\[2 = 0\]

Из первого уравнения видно, что \(y\) не может быть равно нулю, так как величина площади участка не равна нулю.

Поэтому мы сосредоточимся на втором уравнении. Здесь полученное уравнение не имеет решений.

Значит, критических значений \(x\) не существует.

Таким образом, исходя из решения, нельзя однозначно определить оптимальные размеры прямоугольного участка из условия задачи. Однако, можно заметить, что если ограничиться только натуральными числами, то пара значений \(x = 70\), \(y = 70\) даст минимальное значение периметра для данной площади участка.