Каковы нормальное, тангенциальное и полное ускорения точки через 0,5 с после начала движения, если зависимость пути

Для начала, нам необходимо выразить путь \(s\) через угловую координату \(\theta\) на окружности радиусом \(R\). Для этого воспользуемся соотношением длины дуги окружности и угла поворота:

\[s = R \cdot \theta\]

Теперь мы можем найти \(\theta\) как функцию времени. Для этого возьмем производную от обеих частей уравнения:

\[\frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d(R \cdot \theta)}}{{dt}}\]
\[A + 2Bt = R \cdot \frac{{d\theta}}{{dt}}\]

Мы также знаем, что угловая скорость \(\omega\) является производной угла \(\theta\) по времени:

\[\frac{{d\theta}}{{dt}} = \omega\]

Так как радиус окружности \(R = 2 \, \text{м}\), мы можем решить уравнение для \(t = 0,5 \, \text{с}\):

\[A + 2B \cdot 0,5 = 2 \cdot \omega\]
\[A + B = 2 \cdot \omega\]

Теперь мы можем найти угловую скорость \(\omega\). Подставим значения \(A = 3 \, \text{м/с}^2\) и \(B = 1 \, \text{м/с}\):

\[3 + 1 = 2 \cdot \omega\]
\[\omega = 2 \, \text{рад/с}\]

Угловая скорость \(\omega\) также является производной угла относительно времени, поэтому мы можем найти полное ускорение точки используя следующую формулу:

\[\text{полное ускорение} = \text{тангенциальное ускорение} + \text{центростремительное ускорение}\]

Тангенциальное ускорение определяется как производная скорости по времени:

\[a_t = \frac{{dv}}{{dt}}\]

Мы можем найти скорость \(v\) как производную пути по времени:

\[v = \frac{{ds}}{{dt}} = A + 2Bt\]

Теперь возьмем производную от \(v\) по времени, чтобы найти тангенциальное ускорение:

\[a_t = \frac{{d(A + 2Bt)}}{{dt}} = 2B\]

Центростремительное ускорение определяется как произведение радиуса окружности \(R\) на угловую скорость \(\omega\):

\[a_c = R \cdot \omega = 2 \cdot 2 = 4 \, \text{м/с}^2\]

Таким образом, полное ускорение равно:

\[a = a_t + a_c = 2B + 4 = 2 \cdot 1 + 4 = 6 \, \text{м/с}^2\]

Для вычисления модуля перемещения за время \(0,5 \, \text{с}\) мы можем подставить значения \(A\), \(B\) и \(t\) в уравнение пути \(s = At + Bt^2\):

\[s = 3 \cdot 0,5 + 1 \cdot (0,5)^2\]
\[s = 1,5 + 0,25\]
\[s = 1,75 \, \text{м}\]

Таким образом, модуль перемещения точки за время \(0,5 \, \text{с}\) равен \(1,75 \, \text{м}\).

Итак, нормальное ускорение не определено, тангенциальное ускорение равно \(2 \, \text{м/с}^2\), полное ускорение равно \(6 \, \text{м/с}^2\), угловая скорость равна \(2 \, \text{рад/с}\), и модуль перемещения равен \(1,75 \, \text{м}\).