Каковы нормальное и касательное уравнение точки, движущейся по окружности радиуса 10м согласно уравнению s=3t^2, после

Ок, давайте рассмотрим данную задачу подробнее. У нас есть точка, которая движется по окружности радиусом 10 метров согласно уравнению \(s = 3t^2\), где \(s\) - путь, пройденный точкой, а \(t\) - время движения.

Чтобы решить задачу, сначала нужно найти общий путь, пройденный точкой по окружности. Если после 9 оборотов точка возвращается в исходную точку, значит, она обошла окружность однократно.

Радиус окружности равен 10 метрам, а длина окружности определяется формулой \(L = 2\pi r\), где \(L\) - длина окружности, \(r\) - радиус.

Таким образом, длина окружности равна \(L = 2\pi \times 10 = 20\pi\) метров.

Далее, найдем время, за которое точка проходит весь путь по окружности. Подставим значение пути \(s\) равное длине окружности \(20\pi\) в уравнение \(s = 3t^2\):

\[20\pi = 3t^2\]

Разделим обе части уравнения на 3:

\[\frac{{20\pi}}{{3}} = t^2\]

Извлекая корень, получим:

\[t = \sqrt{\frac{{20\pi}}{{3}}}\]

Теперь, чтобы найти касательное и нормальное уравнение в данной точке, нам понадобится определить скорость и ускорение.

Скорость - это производная пути по времени \(v = \frac{{ds}}{{dt}}\), а ускорение - производная скорости по времени \(a = \frac{{dv}}{{dt}}\).

Производная \(s\) по времени \(t\) равна: \(\frac{{ds}}{{dt}} = 6t\).

Затем найдем производную скорости \(v\) по времени \(t\): \(\frac{{dv}}{{dt}} = 6\).

Следовательно, скорость точки на окружности будет постоянной и равной 6 м/с.

Теперь давайте найдем касательное и нормальное уравнение окружности в данной точке.

Касательное уравнение окружности в точке задается формулой \(y - y_1 = k(x - x_1)\), где \(x_1\) и \(y_1\) - координаты точки, \(k\) - тангенс угла, образованного радиусом окружности и касательной.

В данном случае, точка находится на окружности радиусом 10 метров, поэтому координаты центра окружности равны \(x_1 = 0\) и \(y_1 = 0\).

Подставим данные значения в уравнение:

\[y - 0 = k(x - 0)\]

\[y = kx\]

Теперь найдем значение \(k\) (тангенса угла). Мы знаем, что скорость точки на окружности равна 6 м/с, а скорость равна отношению изменения координаты y к изменению координаты x (тангенс угла):

\[k = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\]

Так как точка находится на окружности, разница координат y и x равны:

\[\Delta y = y - 0 = y\]
\[\Delta x = x - 0 = x\]

Следовательно,

\[k = \frac{{y}}{{x}}\]

Теперь найдем значение \(y\) и \(x\) в данной точке.

Из уравнения окружности \(s = 3t^2\) найдем \(t\), используя информацию о том, что точка прошла окружность однократно:

\[20\pi = 3t^2\]
\[t = \sqrt{\frac{{20\pi}}{{3}}}\]

Теперь подставим значение \(t\) в уравнение окружности, чтобы найти значение \(s\):

\[s = 3t^2 = 3 \left( \sqrt{\frac{{20\pi}}{{3}}} \right)^2 = 3 \cdot \frac{{20\pi}}{{3}} = 20\pi\]

Таким образом, значение координаты \(y\) в данной точке равно \(20\pi\) метров.

Также, мы можем найти значение координаты \(x\) используя уравнение окружности:

\[x = \sqrt{r^2 - y^2} = \sqrt{10^2 - (20\pi)^2}\]

Теперь подставим значения координат \(y\) и \(x\) в уравнение касательной и получим окончательный ответ:

\[y = kx\]
\[20\pi = k \sqrt{10^2 - (20\pi)^2}\]
\[k = \frac{{20\pi}}{{\sqrt{10^2 - (20\pi)^2}}}\]

Таким образом, касательное уравнение окружности в данной точке будет:

\[y = \frac{{20\pi}}{{\sqrt{10^2 - (20\pi)^2}}} \cdot x\]

Нормальное уравнение окружности в данной точке будет:

\[y = \frac{{-\sqrt{10^2 - (20\pi)^2}}}{{20\pi}} \cdot x\]

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять решение данной задачи!