Каковы нормальное и касательное уравнение точки, движущейся по окружности радиуса 10м согласно уравнению s=3t^2, после

Ок, давайте рассмотрим данную задачу подробнее. У нас есть точка, которая движется по окружности радиусом 10 метров согласно уравнению $s=3t^2$, где $s$ - путь, пройденный точкой, а $t$ - время движения.

Чтобы решить задачу, сначала нужно найти общий путь, пройденный точкой по окружности. Если после 9 оборотов точка возвращается в исходную точку, значит, она обошла окружность однократно.

Радиус окружности равен 10 метрам, а длина окружности определяется формулой $L=2\pi r$, где $L$ - длина окружности, $r$ - радиус.

Таким образом, длина окружности равна $L=2\pi \times 10=20\pi$ метров.

Далее, найдем время, за которое точка проходит весь путь по окружности. Подставим значение пути $s$ равное длине окружности $20\pi$ в уравнение $s=3t^2$:

$$20\pi =3t^2$$

Разделим обе части уравнения на 3:

$$\frac{20\pi }{3}=t^2$$

Извлекая корень, получим:

$$t=\sqrt{\frac{20\pi }{3}}$$

Теперь, чтобы найти касательное и нормальное уравнение в данной точке, нам понадобится определить скорость и ускорение.

Скорость - это производная пути по времени $v=\frac{ds}{dt}$, а ускорение - производная скорости по времени $a=\frac{dv}{dt}$.

Производная $s$ по времени $t$ равна: $\frac{ds}{dt}=6t$.

Затем найдем производную скорости $v$ по времени $t$: $\frac{dv}{dt}=6$.

Следовательно, скорость точки на окружности будет постоянной и равной 6 м/с.

Теперь давайте найдем касательное и нормальное уравнение окружности в данной точке.

Касательное уравнение окружности в точке задается формулой $y-y_1=k(x-x_1)$, где $x_1$ и $y_1$ - координаты точки, $k$ - тангенс угла, образованного радиусом окружности и касательной.

В данном случае, точка находится на окружности радиусом 10 метров, поэтому координаты центра окружности равны $x_1=0$ и $y_1=0$.

Подставим данные значения в уравнение:

$$y-0=k(x-0)$$

$$y=kx$$

Теперь найдем значение $k$ (тангенса угла). Мы знаем, что скорость точки на окружности равна 6 м/с, а скорость равна отношению изменения координаты y к изменению координаты x (тангенс угла):

$$k=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$$

Так как точка находится на окружности, разница координат y и x равны:

$$\mathrm{\Delta }y=y-0=y$$
$$\mathrm{\Delta }x=x-0=x$$

Следовательно,

$$k=\frac{y}{x}$$

Теперь найдем значение $y$ и $x$ в данной точке.

Из уравнения окружности $s=3t^2$ найдем $t$, используя информацию о том, что точка прошла окружность однократно:

$$20\pi =3t^2$$
$$t=\sqrt{\frac{20\pi }{3}}$$

Теперь подставим значение $t$ в уравнение окружности, чтобы найти значение $s$:

$$s=3t^2=3{\left(\sqrt{\frac{20\pi }{3}}\right)}^2=3\cdot \frac{20\pi }{3}=20\pi$$

Таким образом, значение координаты $y$ в данной точке равно $20\pi$ метров.

Также, мы можем найти значение координаты $x$ используя уравнение окружности:

$$x=\sqrt{r^2-y^2}=\sqrt{{10}^2-(20\pi {)}^2}$$

Теперь подставим значения координат $y$ и $x$ в уравнение касательной и получим окончательный ответ:

$$y=kx$$
$$20\pi =k\sqrt{{10}^2-(20\pi {)}^2}$$
$$k=\frac{20\pi }{\sqrt{{10}^2-(20\pi {)}^2}}$$

Таким образом, касательное уравнение окружности в данной точке будет:

$$y=\frac{20\pi }{\sqrt{{10}^2-(20\pi {)}^2}}\cdot x$$

Нормальное уравнение окружности в данной точке будет:

$$y=\frac{-\sqrt{{10}^2-(20\pi {)}^2}}{20\pi }\cdot x$$

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять решение данной задачи!