Каковы координаты точки максимума функции y=2lnx−√x−17?

Конечно! Чтобы найти координаты точки максимума функции, мы использовать производные. Давайте начнем с нахождения производной \(y"\) данной функции \(y\):

\[y" = \frac{d}{dx}(2\ln x - \sqrt{x} - 17)\]

Мы можем разложить это на две производные:

\[y" = \frac{d}{dx}(2\ln x) - \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) - \frac{d}{dx}(17)\]

Теперь рассмотрим каждую производную по отдельности:

\(\frac{d}{dx}(2\ln x)\):

Чтобы вычислить производную натурального логарифма, мы воспользуемся правилом дифференцирования функции \(\ln x\):

\[\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}\]

Используя это правило, вычислим производную \(2\ln x\):

\[\frac{d}{dx}(2\ln x) = 2 \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) = 2 \cdot \frac{1}{x}\]

\(\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\):

Чтобы вычислить производную квадратного корня, мы также используем правило дифференцирования:

\[\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\(\frac{d}{dx}(17) = 0\), так как производная константы равна нулю.

Теперь, зная производные каждого слагаемого, мы можем записать производную функции:

\[y" = 2 \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

Чтобы найти точку максимума, мы должны приравнять производную к нулю и решить уравнение:

\[2 \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0\]

Чтобы облегчить решение этого уравнения, мы можем умножить обе части на \(2x\sqrt{x}\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[2 \cdot \frac{1}{x} \cdot 2x\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 2x\sqrt{x} = 0\]

Упростим это уравнение:

\[4\sqrt{x} - 2 = 0\]

Теперь решим это уравнение для \(x\):

\[4\sqrt{x} = 2\]

\[\sqrt{x} = \frac{1}{2}\]

\[x = \left(\frac{1}{2}\right)^2\]

\[x = \frac{1}{4}\]

Теперь, когда мы нашли значение \(x = \frac{1}{4}\), мы можем найти значение \(y\) подставив это значение обратно в исходную функцию:

\[y = 2\ln\left(\frac{1}{4}\right) - \sqrt{\frac{1}{4}} - 17\]

Упростим это:

\[y = 2\ln\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{1}{2} - 17\]

Теперь давайте вычислим значение \(y\):

\[y = 2\ln 4^{-1} - \frac{1}{2} - 17\]

Используя свойство логарифма \(\ln a^b = b\ln a\), мы можем записать это как:

\[y = -2\ln 4 - \frac{1}{2} - 17\]

Далее, высчитаем значение \(y\):

\[y = -2\ln 4 - \frac{1}{2} - 17\]

\[y \approx -8.7726 - \frac{1}{2} - 17\]

\[y \approx -9.2726\]

Таким образом, координаты точки максимума функции \(y=2\ln x - \sqrt{x} - 17\) равны \(x = \frac{1}{4}\) и \(y \approx -9.2726\).