Каковы координаты точек, на которых отрезок с концами в точках a(-4;2) и b(8;-4) разделен на четыре равные части?

Чтобы найти координаты точек, на которых отрезок AB разделен на четыре равные части, мы можем использовать идею о том, что каждая часть должна составлять 1/4 от общей длины отрезка AB.

Сначала найдем длину отрезка AB, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\]

где \(d\) - расстояние между точками, \(x_1\) и \(y_1\) - координаты первой точки, \(x_2\) и \(y_2\) - координаты второй точки.

Таким образом, длина отрезка AB равна:

\[d_{AB} = \sqrt{(8 - (-4))^2 + (-4 - 2)^2} = \sqrt{12^2 + (-6)^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}\]

Теперь мы знаем, что длина отрезка AB равна 6√5.

Чтобы разделить отрезок на четыре равные части, мы должны двигаться от точки A в направлении точки B на 1/4 длины отрезка AB. Сначала найдем разницу между координатами точек B и A:

\[\Delta x = x_2 - x_1 = 8 - (-4) = 12\]
\[\Delta y = y_2 - y_1 = -4 - 2 = -6\]

Затем, найдем векторы смещения для каждой части отрезка:

\[\Delta x_{\text{часть}} = \frac{\Delta x}{4} = \frac{12}{4} = 3\]
\[\Delta y_{\text{часть}} = \frac{\Delta y}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}\]

Используя эти векторы смещения, мы можем найти координаты каждой точки по порядку.

Первая точка:
\[x_1 = x_A + \Delta x_{\text{часть}} = -4 + 3 = -1\]
\[y_1 = y_A + \Delta y_{\text{часть}} = 2 + \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}\]

Вторая точка:
\[x_2 = x_1 + \Delta x_{\text{часть}} = -1 + 3 = 2\]
\[y_2 = y_1 + \Delta y_{\text{часть}} = \frac{1}{2} + \left(-\frac{3}{2}\right) = -1\]

Третья точка:
\[x_3 = x_2 + \Delta x_{\text{часть}} = 2 + 3 = 5\]
\[y_3 = y_2 + \Delta y_{\text{часть}} = -1 + \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{5}{2}\]

Четвертая точка:
\[x_4 = x_3 + \Delta x_{\text{часть}} = 5 + 3 = 8\]
\[y_4 = y_3 + \Delta y_{\text{часть}} = -\frac{5}{2} + \left(-\frac{3}{2}\right) = -4\]

Таким образом, координаты точек, на которых отрезок AB разделен на четыре равные части, будут следующими:

Первая точка: (-1, 1/2)
Вторая точка: (2, -1)
Третья точка: (5, -5/2)
Четвертая точка: (8, -4)