Каковы градусные величины углов треугольника, если гипотенуза составляет 8 см, а один из катетов равен

Давайте решим данную задачу. У нас есть прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна 8 см, а один из катетов нам неизвестен.

Первым шагом, воспользуемся теоремой Пифагора. Она гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Обозначим гипотенузу как \(c\), а катеты как \(a\) и \(b\). Тогда формула теоремы Пифагора выглядит следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

В нашем случае, гипотенуза \(c\) равна 8 см. Подставим известные значения в формулу:

\[8^2 = a^2 + b^2\]

У нас есть еще одна информация - один из катетов равен \(a\) см. Подставим это в формулу:

\[8^2 = a^2 + (a)^2\]

Упростим выражение:

\[64 = 2a^2\]

Теперь решим уравнение относительно \(a\). Разделим обе стороны на 2:

\[32 = a^2\]

Чтобы выразить \(a\), извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

\[a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\]

Таким образом, значение одного из катетов равно \(4\sqrt{2}\) см.

Теперь, чтобы вычислить углы треугольника, воспользуемся тригонометрическими функциями.

Угол \(\alpha\), противолежащий катету \(a\), связан с ним по формуле:

\(\tan(\alpha) = \frac{a}{b}\)

Подставим известные значения в эту формулу:

\(\tan(\alpha) = \frac{4\sqrt{2}}{b}\)

Теперь, для вычисления угла \(\alpha\), нам необходимо найти значение катета \(b\). Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

\(8^2 = (4\sqrt{2})^2 + b^2\)

\(64 = 32 + b^2\)

\(b^2 = 32\)

\(b = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)

Теперь, зная значения обоих катетов, мы можем подставить их в формулу для \(\tan(\alpha)\):

\(\tan(\alpha) = \frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 1\)

Для вычисления значения угла \(\alpha\) (измеряемого в радианах), мы можем использовать обратную функцию \(\arctan\):

\(\alpha = \arctan(1)\)

Поскольку значение \(\arctan(1)\) равно \(\frac{\pi}{4}\) радиан, мы можем представить его в градусах умножением на коэффициент перевода:

\(\alpha = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = 45^\circ\)

Таким образом, один из углов треугольника равен 45 градусов.

Чтобы найти второй угол треугольника, мы можем воспользоваться свойством суммы углов треугольника. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов. Так как у нас уже известен угол \(\alpha\) равный 45 градусам, то:

\(45^\circ + \beta + 90^\circ = 180^\circ\)

\(\beta + 135^\circ = 180^\circ\)

\(\beta = 45^\circ\)

Таким образом, второй угол треугольника также равен 45 градусам.

В итоге, градусные величины углов треугольника равны: 45 градусов, 45 градусов и 90 градусов.