Каковы два возможных варианта алгоритма, по которому действует Альберт, когда он просит зрителя задумать число

Давайте рассмотрим два возможных варианта алгоритма, которые может использовать Альберт в этой задаче.

Вариант 1:
1. Пусть зритель задумывает число и обозначим его как \(x\).
2. Альберт умножает это число на 2 и получает \(2x\).
3. Затем он добавляет 3 к полученному результату и получает \(2x + 3\).
4. Далее Альберт умножает результат на 5 и получает \(5(2x + 3)\).
5. Альберт сразу же называет исходное число и говорит, что это число равно \(\frac{5(2x + 3)}{2} - 3\).

Обоснование:
Чтобы увидеть, почему этот алгоритм работает, давайте последовательно выполним все действия и проверим.

1. Исходное число: \(x\)
2. Умножаем на 2: \(2x\)
3. Добавляем 3: \(2x + 3\)
4. Умножаем на 5: \(5(2x + 3)\)

Теперь давайте раскроем скобки:
\(5(2x + 3) = 10x + 15\)

Заметим, что в полученном выражении у нас есть исходное число \(x\). Раскроем дальше скобки и упростим:

\(10x + 15 = 10x - 3 + 18 = 2x - 3 + 18 + 8x = (\frac{5(2x + 3)}{2}) - 3 + 8x\)

Таким образом, мы получаем исходное число \(x\) в итоговом ответе.

Вариант 2:
1. Пусть зритель задумывает число и обозначим его как \(x\).
2. Альберт умножает это число на 2 и получает \(2x\).
3. Затем он добавляет 3 к полученному результату и получает \(2x+3\).
4. Далее он умножает это число на 5, получая \(5(2x+3)\).
5. Альберт называет число \(\frac{5(2x+3)}{10}\).

Обоснование:
Аналогично предыдущему варианту, давайте проверим, почему этот алгоритм работает.

1. Исходное число: \(x\)
2. Умножаем на 2: \(2x\)
3. Добавляем 3: \(2x + 3\)
4. Умножаем на 5: \(5(2x + 3)\)

Раскроем скобки:
\(5(2x + 3) = 10x + 15\)

Упростим полученное выражение:
\(10x + 15 = 10x + 3\cdot5 = 10x + 3\cdot2\cdot5 = 10x + 6\cdot5\)

Теперь давайте вынесем общий множитель 10:
\(10x + 6\cdot5 = 10x + \frac{6\cdot5}{10}\)

А это равносильно:
\(10x + \frac{30}{10} = \frac{10x + 30}{10} = \frac{5(2x + 3)}{10}\)

Таким образом, мы опять получаем исходное число \(x\) в итоговом ответе.

Оба варианта алгоритма работают, потому что в процессе выполнения арифметических операций и упрощения выражений, исходное число \(x\) всегда остаётся в итоговом ответе. Это объясняется определенными алгебраическими свойствами, в основе которых лежат дистрибутивность и коммутативность.