Каковы длины высот треугольника, проведенных к двум сторонам, если их длины составляют 30 см и 40 см соответственно

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о треугольнике и его высотах.

Высота треугольника — это отрезок, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Если треугольник не является прямоугольным, то высоты могут быть проведены к любой стороне треугольника. В прямоугольном треугольнике высота проводится к гипотенузе.

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться теоремой синусов. Согласно этой теореме, отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла является постоянным для всех сторон и углов треугольника.

Давайте обозначим длины сторон треугольника как $a=30$ см, $b=40$ см, а угол между ними как $\alpha ={30}^{\circ }$. Пусть $h_1$ и $h_2$ — длины высот, проведенных к сторонам длиной $a$ и $b$ соответственно.

Применяя теорему синусов к треугольнику, мы можем записать следующее соотношение:

$$\frac{a}{\sin (\alpha )}=\frac{h_1}{\sin (\beta )}$$

где $\beta$ — угол между стороной $a$ и высотой $h_1$.

Сначала найдем значение синуса угла $\alpha$ по его значению в таблице синусов (или при помощи калькулятора):

$$\sin ({30}^{\circ })=0.5$$

Теперь мы можем решить данное уравнение относительно $h_1$:

$$h_1=\frac{a\cdot \sin (\beta )}{\sin (\alpha )}$$

Однако у нас нет информации о значении угла $\beta$. Но мы можем заметить, что углы треугольника составляют в сумме 180 градусов, поэтому угол $\beta$ равен:

$$\beta ={180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{90}^{\circ }={60}^{\circ }$$

Теперь мы можем продолжить решение задачи, подставив известные значения:

$$h_1=\frac{30\cdot \sin ({60}^{\circ })}{\sin ({30}^{\circ })}$$

После подстановки и вычислений получаем:

$$h_1=\frac{30\cdot \sqrt{3}\cdot 2}{0.5}=120\text{ см}$$

Таким образом, длина первой высоты $h_1$ треугольника равна 120 см.

Аналогично, можно найти длину второй высоты $h_2$ треугольника. Она будет равна:

$$h_2=\frac{40\cdot \sin ({60}^{\circ })}{\sin ({30}^{\circ })}$$

После подстановки и вычислений получаем:

$$h_2=\frac{40\cdot \sqrt{3}\cdot 2}{0.5}=160\text{ см}$$

Таким образом, длина второй высоты $h_2$ треугольника равна 160 см.

Следовательно, длина первой высоты $h_1$ равна 120 см, а длина второй высоты $h_2$ равна 160 см.