Каковы длины сторон параллелограмма, если его диагонали составляют 30 см и 50 см, а соотношение сторон равно 8:19?

Для решения этой задачи нам потребуется использовать некоторые свойства параллелограмма.

Сначала давайте обратимся к тому факту, что диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника равной площади. Поэтому мы можем сказать, что площадь первого треугольника равна площади третьего треугольника, а площадь второго треугольника равна площади четвертого треугольника.

Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]
где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - длина основания треугольника, \(h\) - высота треугольника.

Давайте обозначим длины сторон параллелограмма как \(a\) и \(b\), а высоты соответствующих треугольников как \(h_1\) и \(h_2\).

Так как соотношение сторон параллелограмма равно 8:19, мы можем записать:
\[\frac{a}{b} = \frac{8}{19}\]

Теперь рассмотрим треугольники, образованные диагоналями. По условию, мы знаем, что сумма длин диагоналей равна 80 см:
\[a + b = 80\]

Также, мы можем применить теорему Пифагора к каждому из треугольников, образованных диагоналями, чтобы выразить высоты через длины сторон:
\[h_1^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2\]
\[h_2^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2\]

Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из двух уравнений и двух неизвестных:
\[\frac{a}{b} = \frac{8}{19} \quad \text{(1)}\]
\[a + b = 80 \quad \text{(2)}\]
\[h_1^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 \quad \text{(3)}\]
\[h_2^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 \quad \text{(4)}\]

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом исключения.

Давайте решим эту систему уравнений методом подстановки. В первом уравнении мы можем выразить \(a\) через \(b\):
\[a = \frac{8b}{19}\]

Теперь подставим это значение во второе и третье уравнение:
\[\frac{8b}{19} + b = 80\]
\[\frac{b}{19} + \frac{b}{8} = 10\]
\[\frac{27b}{152} = 10\]
\[b = \frac{1520}{27}\]

Теперь, когда мы знаем значение \(b\), мы можем найти значение \(a\) с помощью первого уравнения:
\[a = \frac{8 \cdot \frac{1520}{27}}{19}\]

Таким образом, мы находим \(a\) и \(b\) и можем записать, что длины сторон параллелограмма равны:
\[a = \frac{8 \cdot \frac{1520}{27}}{19} \approx 42.823 \, \text{см}\]
\[b = \frac{1520}{27} \approx 56.296 \, \text{см}\]