Каковы длины катетов прямоугольного треугольника, сумма которых составляет 20 см, чтобы максимизировать площадь

Для решения этой задачи мы будем использовать геометрические и алгебраические методы. Давайте начнем с формулы для площади прямоугольного треугольника: \(S = \frac{1}{2}ab\), где \(a\) и \(b\) - длины катетов треугольника.

Для максимизации площади треугольника, мы должны найти значения \(a\) и \(b\), которые удовлетворяют условию суммы и при этом максимизируют площадь.

Дано, что сумма длин катетов равна 20 см:
\(a + b = 20\)

Для нахождения значений \(a\) и \(b\) мы можем выразить одну переменную через другую, используя эту уравнение. Допустим, мы выразим \(b\) через \(a\):
\(b = 20 - a\)

Подставим это выражение для \(b\) в формулу для площади треугольника:
\[S = \frac{1}{2}a(20 - a)\]

Теперь у нас есть формула для площади треугольника, зависящая только от одной переменной \(a\). Чтобы найти максимальную площадь, мы можем взять производную этой функции по \(a\) и найти значения \(a\), в которых производная равна нулю.

Дифференцируем функцию по \(a\):
\(\frac{dS}{da} = \frac{1}{2}(20 - 2a)\)

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\(\frac{1}{2}(20 - 2a) = 0\)

Делим на \(\frac{1}{2}\):
\(20 - 2a = 0\)

Переносим 2a на другую сторону:
\(2a = 20\)

Делим на 2:
\(a = 10\)

Таким образом, один из катетов должен быть равен 10 см.

Теперь, чтобы найти второй катет, мы можем подставить значение a в одно из исходных уравнений:
\(b = 20 - a\)
\(b = 20 - 10\)
\(b = 10\)

Таким образом, второй катет также должен быть равен 10 см.

Итак, длины катетов прямоугольного треугольника, сумма которых составляет 20 см для максимизации площади, равны 10 см и 10 см.

Теперь найдем максимальную площадь. Подставим значения катетов в формулу для площади треугольника:
\(S = \frac{1}{2} \times 10 \times 10\)
\(S = 50\)

Таким образом, максимальная площадь прямоугольного треугольника равна 50 квадратным сантиметрам.