Каковы длины катетов прямоугольного треугольника, сумма которых составляет 20 см, чтобы максимизировать площадь

Для решения этой задачи мы будем использовать геометрические и алгебраические методы. Давайте начнем с формулы для площади прямоугольного треугольника: $S=\frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ - длины катетов треугольника.

Для максимизации площади треугольника, мы должны найти значения $a$ и $b$, которые удовлетворяют условию суммы и при этом максимизируют площадь.

Дано, что сумма длин катетов равна 20 см:
$a+b=20$

Для нахождения значений $a$ и $b$ мы можем выразить одну переменную через другую, используя эту уравнение. Допустим, мы выразим $b$ через $a$:
$b=20-a$

Подставим это выражение для $b$ в формулу для площади треугольника:
$$S=\frac{1}{2}a(20-a)$$

Теперь у нас есть формула для площади треугольника, зависящая только от одной переменной $a$. Чтобы найти максимальную площадь, мы можем взять производную этой функции по $a$ и найти значения $a$, в которых производная равна нулю.

Дифференцируем функцию по $a$:
$\frac{dS}{da}=\frac{1}{2}(20-2a)$

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
$\frac{1}{2}(20-2a)=0$

Делим на $\frac{1}{2}$:
$20-2a=0$

Переносим 2a на другую сторону:
$2a=20$

Делим на 2:
$a=10$

Таким образом, один из катетов должен быть равен 10 см.

Теперь, чтобы найти второй катет, мы можем подставить значение a в одно из исходных уравнений:
$b=20-a$
$b=20-10$
$b=10$

Таким образом, второй катет также должен быть равен 10 см.

Итак, длины катетов прямоугольного треугольника, сумма которых составляет 20 см для максимизации площади, равны 10 см и 10 см.

Теперь найдем максимальную площадь. Подставим значения катетов в формулу для площади треугольника:
$S=\frac{1}{2}\times 10\times 10$
$S=50$

Таким образом, максимальная площадь прямоугольного треугольника равна 50 квадратным сантиметрам.