Каковы длины диагоналей прямоугольника ABCD, если сторона AB равна 6 см и углы AOB и COD равны 60 градусов?

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать основные свойства прямоугольника и знание тригонометрии.

Для начала, представим прямоугольник ABCD следующим образом:

\[
\begin{array}{l}
A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, B \\
\downarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \downarrow \\
D\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, C
\end{array}
\]

Мы знаем, что сторона AB равна 6 см. Если угол AOB равен 60 градусов, то угол BOC также равен 60 градусов.

Теперь, обратимся к свойству прямоугольника: в прямоугольнике противоположные стороны равны. Так как AB = CD (противоположные стороны), то CD тоже равно 6 см.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длин диагоналей. Давайте обозначим длину диагонали AC как х и длину диагонали BD как у.

Используя теорему косинусов, мы можем написать следующее:

\[
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)
\]

\[
AB^2 = BD^2 + AD^2 - 2 \cdot BD \cdot AD \cdot \cos(\angle ABD)
\]

Так как углы AOB и COD равны 60 градусов, мы можем записать следующее:

\[
\cos(\angle ABC) = \cos(\angle ABD) = \frac{1}{2}
\]

Подставляя значения, получаем:

\[
6^2 = x^2 + 6^2 - 2 \cdot x \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}
\]

\[
6^2 = y^2 + 6^2 - 2 \cdot y \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}
\]

\[
36 = x^2 - 6x + 18
\]

\[
36 = y^2 - 6y + 18
\]

Решая эти уравнения, получаем:

\[
x^2 - 6x + 18 - 36 = 0
\]

\[
y^2 - 6y + 18 - 36 = 0
\]

\[
x^2 - 6x - 18 = 0
\]

\[
y^2 - 6y - 18 = 0
\]

Решая эти уравнения, получаем:

\[
x = 2 \quad \text{или} \quad x = -9
\]

\[
y = 2 \quad \text{или} \quad y = -9
\]

Отбрасывая отрицательные значения (так как длины не могут быть отрицательными), получаем, что длины диагоналей прямоугольника ABCD равны 2 см и 2 см.