Каковы длины диагоналей параллелограмма со сторонами 6 см и 3 см, и углом между ними равным 120°?

Для решения этой задачи нам потребуется знание свойств параллелограмма и тригонометрии.

В параллелограмме диагонали делятся пополам и пересекаются в точке, которую мы будем называть точкой пересечения диагоналей.

Для начала определим длину диагонали \(AC\). Для этого мы можем использовать теорему косинусов.

По теореме косинусов, квадрат длины одной из диагоналей \(AC\) можно выразить через квадраты сторон и косинус угла между ними:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)\]

Длина стороны \(AB\) равна 6 см, а длина стороны \(BC\) равна 3 см. Также, у нас есть информация о значении угла \(\angle ABC\), который равен 120°.

Подставим значения в формулу:

\[AC^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos(120°)\]

Теперь вычислим значение косинуса угла 120°:

\(\cos(120°) = -\frac{1}{2}\)

Подставим это значение в формулу:

\[AC^2 = 36 + 9 + 18 = 63\]

Чтобы найти длину диагонали \(AC\), возьмем квадратный корень из 63:

\[AC = \sqrt{63} \approx 7.94 \, \text{см}\]

Теперь, чтобы найти вторую диагональ \(BD\), мы можем использовать теорему Пифагора. В параллелограмме \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(AD\) равны, поэтому \(AB = AD = 6\) см.

Применим теорему Пифагора в треугольнике \(ABD\):

\[BD^2 = AB^2 + AD^2 = 6^2 + 6^2 = 72\]

Для нахождения длины диагонали \(BD\) возьмем квадратный корень из 72:

\[BD = \sqrt{72} \approx 8.485 \, \text{см}\]

Таким образом, длина диагонали \(AC\) будет приближенно равна 7.94 см, а длина диагонали \(BD\) будет приближенно равна 8.485 см.