Каковы длины диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 10 см и 8 см, а угол между ними составляет 120°?

Чтобы найти длины диагоналей параллелограмма, нам понадобится применить теорему косинусов. Давайте разберемся, как это сделать.

Пусть стороны параллелограмма обозначены как \(a\) и \(b\), а угол между ними обозначим как \(\theta\). В данном случае \(a = 10\) см, \(b = 8\) см и \(\theta = 120^\circ\).

Теорема косинусов гласит: в треугольнике с сторонами \(a\), \(b\) и углом \(\theta\) между ними, квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Формулу можно записать следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta)\]

Где \(c\) — диагональ параллелограмма.

Теперь, подставим значения в формулу:

\[\begin{align*}
c^2 &= 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)\\
c^2 &= 100 + 64 - 160 \cdot \cos(120^\circ)
\end{align*}\]

Для решения косинуса угла 120°, мы можем воспользоваться следующим свойством косинуса: \(\cos(180^\circ - \theta) = -\cos(\theta)\). В этом случае 180° - 120° = 60° и \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\). Таким образом, наше уравнение станет:

\[\begin{align*}
c^2 &= 100 + 64 - 160 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)\\
c^2 &= 100 + 64 - 80\\
c^2 &= 84
\end{align*}\]

Чтобы найти длину диагонали \(c\), нам необходимо извлечь квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[c = \sqrt{84}\]

Таким образом, длина диагонали параллелограмма составляет примерно 9,165 см.

Мы использовали теорему косинусов, чтобы решить эту задачу и предоставили подробное и пошаговое объяснение. Я надеюсь, что это помогло вам понять, как найти длины диагоналей параллелограмма. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!