Каковы длина вектора CD и угол BCD параллелограмма ABCD?

Для решения этой задачи, нам нужно использовать свойства параллелограммов и применить знания о векторной алгебре.

Давайте начнем с определения параллелограмма. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Векторами обозначим стороны параллелограмма: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{DA}$.

Длина вектора можно найти, используя формулу длины вектора: $\Vert \overrightarrow{v}\Vert =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, где $\overrightarrow{v}$ - вектор, а $x$, $y$ и $z$ - его координаты.

Первым шагом рассчитаем длину вектора $\overrightarrow{CD}$:
$$\Vert \overrightarrow{CD}\Vert =\sqrt{{x_{CD}}^2+{y_{CD}}^2}$$

На самом деле, если стороны параллелограмма равны, то вектора, соответствующие этим сторонам, также равны по длине, а это именно наш случай, так как векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ - диагонали параллелограмма, которые делятся пополам и создают два равных треугольника.

Таким образом, длина вектора $\overrightarrow{CD}$ будет равна длине вектора $\overrightarrow{AB}$, т.е. $\Vert \overrightarrow{CD}\Vert =\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$.

Чтобы найти длину вектора $\overrightarrow{AB}$, мы можем использовать точки A и B. Пусть координаты точки A - (x$A$, y$A$), а координаты точки B - (x$B$, y$B$).
Тогда $\overrightarrow{AB}=(x\text{(}B$-x$A$, y$B$-y$A$)\).

Продолжим нахождение длины вектора $\overrightarrow{AB}$:
$$\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{(\mathrm{\Delta }{x}_{AB}{)}^2+(\mathrm{\Delta }{y}_{AB}{)}^2}$$
где $\mathrm{\Delta }{x}_{AB}=x\text{(}B$-x$A$\) и $\mathrm{\Delta }{y}_{AB}=y\text{(}B$-y$A$\).

Теперь мы знаем, что длина вектора $\overrightarrow{AB}$ равна длине вектора $\overrightarrow{CD}$.

Подобным образом, мы можем рассчитать длину векторов $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{DA}$, и обнаружим, что они также равны длине $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$.

Вторая часть задачи заключается в нахождении угла BCD.

Мы знаем, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. Это также означает, что параллельные стороны имеют равные углы. Таким образом, угол BCD будет равен углу BAD, а значит $\mathrm{\angle }BCD=\mathrm{\angle }BAD$.

Нахождение угла BAD можно осуществить с использованием соотношения между скалярным произведением векторов и косинусом угла между ними:
$$\cos (\mathrm{\angle }BAD)=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}}{\Vert \overrightarrow{AB}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{AD}\Vert }$$

Таким образом, получаем:
$$\mathrm{\angle }BCD=\mathrm{\angle }BAD={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}}{\Vert \overrightarrow{AB}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{AD}\Vert }\right)$$

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут понять, как найти длину вектора CD и угол BCD в параллелограмме ABCD. Если у вас все еще остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!