Каковы длина и ширина прямоугольника, если его периметр составляет 72 см, а разница между периметрами квадратов

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Для начала, предположим, что длина прямоугольника равна \(x\) сантиметрам, а его ширина равна \(y\) сантиметрам.

Периметр прямоугольника определяется как сумма всех его сторон. В данном случае у нас есть две стороны длиной \(x\) и две стороны длиной \(y\). Поэтому можем записать уравнение для периметра прямоугольника:

\[2x + 2y = 72\]

Теперь рассмотрим квадраты, у которых общая сторона с прямоугольником. Один из них будет иметь сторону длиной \(x\), а другой - длиной \(y\).

Периметр квадрата равен удвоенной сумме его сторон. Поэтому периметр квадрата со стороной \(x\) можно записать как \(4x\), а периметр квадрата со стороной \(y\) как \(4y\).

Задача говорит, что разница между периметрами квадратов, имеющих общую сторону с прямоугольником, равна \(18\). Это значит, что мы можем записать следующее уравнение:

\[4x - 4y = 18\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[\begin{cases}2x + 2y = 72\\ 4x - 4y = 18\end{cases}\]

Мы можем решить эту систему методом подстановки или сложением/вычитанием уравнений. В данном случае я воспользуюсь методом сложения/вычитания для облегчения решения.

Умножим второе уравнение на \(\frac{1}{2}\), чтобы получить коэффициенты при \(x\) и \(y\) такие же, как в первом уравнении:

\[\begin{cases}2x + 2y = 72\\ 2x - 2y = 9\end{cases}\]

Теперь сложим эти два уравнения. Обратите внимание, что коэффициенты при \(y\) сократятся:

\[(2x + 2y) + (2x - 2y) = 72 + 9\]

\[4x = 81\]

Теперь разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти значение \(x\):

\[x = \frac{81}{4}\]

Таким образом, мы получаем, что \(x = \frac{81}{4}\) сантиметра.

Чтобы найти значение \(y\), мы можем подставить найденное \(x\) в любое из исходных уравнений. Для удобства давайте подставим его в первое уравнение:

\[2 \cdot \frac{81}{4} + 2y = 72\]

\[\frac{162}{4} + 2y = 72\]

\[40.5 + 2y = 72\]

\[2y = 72 - 40.5\]

\[2y = 31.5\]

\[y = \frac{31.5}{2}\]

Таким образом, мы получаем, что \(y = \frac{31.5}{2}\) сантиметра.

Итак, длина прямоугольника равна \(\frac{81}{4}\) сантиметра, а ширина равна \(\frac{31.5}{2}\) сантиметра.