Каковы будут скорости шаров после столкновения, если удар абсолютно упругий? Какая часть энергии будет потрачена

Для того чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать законы сохранения энергии и импульса во время столкновения.

Предположим, у нас есть два шара разной массы \(m_1\) и \(m_2\), двигающиеся со скоростями \(v_1\) и \(v_2\) соответственно. После абсолютно упругого столкновения эти скорости изменятся.

Первый закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы до и после столкновения должна быть одинаковой. Математически это можно записать следующим образом:

\[m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_{1ф} + m_2v_{2ф}\]

где \(v_{1ф}\) и \(v_{2ф}\) - это скорости шаров после столкновения.

Второй закон сохранения энергии утверждает, что сумма кинетических энергий системы до и после столкновения также должна быть одинаковой:

\[\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1ф}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2ф}^2\]

Теперь мы можем приступить к решению задачи. Давайте рассмотрим первый шар массой \(m_1\) и начальной скоростью \(v_1\). Для него после столкновения мы можем записать уравнение сохранения импульса:

\[m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_{1ф} + m_2v_{2ф}\]

Аналогично для второго шара массой \(m_2\) и начальной скорости \(v_2\), у нас будет:

\[m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_{1ф} + m_2v_{2ф}\]

Теперь решим это систему уравнений относительно \(v_{1ф}\) и \(v_{2ф}\).

\[v_{1ф} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}v_2\]
\[v_{2ф} = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}v_2\]

Теперь, когда у нас есть скорости шаров после столкновения, мы можем рассчитать долю энергии, которая будет потрачена на нагревание шаров. Для этого воспользуемся уравнением сохранения энергии:

\[\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1ф}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2ф}^2\]

Раскрывая это уравнение, мы получим:

\[\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1\left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}v_2\right)^2 + \frac{1}{2}m_2\left(\frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}v_2\right)^2\]

Подставив значения масс и начальных скоростей, мы можем рассчитать эту долю конкретно для данной задачи.

Таким образом, мы рассмотрели, как решить задачу о скоростях шаров после столкновения при абсолютно упругом ударе. Мы использовали законы сохранения импульса и энергии, чтобы найти скорости шаров после столкновения и рассчитать долю энергии, потраченную на нагревание шаров. Помните, что в каждой конкретной задаче вам потребуется подставить значения масс и начальных скоростей, чтобы получить конкретные числовые ответы.