Каково значение выражения 4x² + 9/x² при условии, что 2x - 3/x

Для решения данной задачи нам следует использовать алгебраические методы и свойства алгебры. Для начала, предлагаю разложить выражение \(2x - \frac{3}{x}\) на два слагаемых, чтобы упростить последующие вычисления.

Мы можем использовать свойство суммы обратных чисел, которое гласит, что сумма чисел \(a\) и \(\frac{1}{b}\) равна \(\frac{a \cdot b + 1}{b}\).

Применяя данное свойство к выражению \(2x - \frac{3}{x}\), получаем:

\(2x - \frac{3}{x} = \frac{2x \cdot x + 1}{x} = \frac{2x^2 + 1}{x}\)

Теперь, чтобы найти значение выражения \(4x^2 + \frac{9}{x^2}\) при условии \(2x - \frac{3}{x} = \frac{2x^2 + 1}{x}\), мы должны подставить данное значение вместо переменной \(x\) в исходное выражение.

Таким образом, получаем:

\(4 \cdot (\frac{2x^2 + 1}{x})^2 + \frac{9}{(\frac{2x^2 + 1}{x})^2}\)

Чтобы продолжить вычисления, воспользуемся свойствами степеней. Предлагаю разложить выражение на две составляющие и вычислить их отдельно.

1. Разложение первой составляющей \(4 \cdot (\frac{2x^2 + 1}{x})^2\):

\(4 \cdot (\frac{2x^2 + 1}{x})^2 = 4 \cdot \frac{(2x^2 + 1)^2}{x^2}\)

Чтобы упростить выражение, раскроем квадрат в числителе:

\(4 \cdot \frac{4x^4 + 4x^2 + 1}{x^2}\)

Раскроем скобку, умножив каждый член выражения в числителе на 4:

\(4 \cdot \frac{4x^4}{x^2} + 4 \cdot \frac{4x^2}{x^2} + 4 \cdot \frac{1}{x^2}\)

Сократим подобные слагаемые:

\(16x^2 + 16 + \frac{4}{x^2}\)

2. Разложение второй составляющей \(\frac{9}{(\frac{2x^2 + 1}{x})^2}\):

Для начала, возведем выражение \(\frac{2x^2 + 1}{x}\) в квадрат:

\((\frac{2x^2 + 1}{x})^2 = \frac{(2x^2 + 1)^2}{x^2}\)

Раскроем квадрат в числителе:

\(\frac{4x^4 + 4x^2 + 1}{x^2}\)

Теперь, чтобы вычислить значение \(\frac{9}{(\frac{2x^2 + 1}{x})^2}\), мы должны взять обратное данному выражению и умножить его на 9:

\(\frac{9}{(\frac{2x^2 + 1}{x})^2} = 9 \cdot \frac{x^2}{4x^4 + 4x^2 + 1}\)

Таким образом, мы имеем две составляющие:

1. \(16x^2 + 16 + \frac{4}{x^2}\)
2. \(9 \cdot \frac{x^2}{4x^4 + 4x^2 + 1}\)

Значение выражения \(4x^2 + \frac{9}{x^2}\) при условии \(2x - \frac{3}{x} = \frac{2x^2 + 1}{x}\) будет равно сумме данных составляющих.

Таким образом, окончательный ответ:

\(4x^2 + \frac{9}{x^2} = (16x^2 + 16 + \frac{4}{x^2}) + (9 \cdot \frac{x^2}{4x^4 + 4x^2 + 1})\)