Каково значение выражения 3^1 + 3^2 + ... + 3^n, где n - натуральное число? (Паскаль

Давайте решим данную задачу.

Выражение, которое дано в задаче, представляет собой сумму степеней числа 3 от 1 до n. Для нахождения значения этой суммы, нам нужно найти общую формулу, которая будет зависеть от значения n.

Для начала, посмотрим на первые несколько значений этой суммы, чтобы обнаружить закономерность:

При n = 1: 3^1 = 3
При n = 2: 3^1 + 3^2 = 3 + 9 = 12
При n = 3: 3^1 + 3^2 + 3^3 = 3 + 9 + 27 = 39

Мы можем заметить, что каждое следующее значение суммы равно предыдущему значению, умноженному на 3, плюс 3 в степени текущего значения n. То есть, если обозначить текущее значение суммы как S, то мы можем записать рекурсивную формулу:

S(n) = S(n-1) + 3^n

Согласно данной формуле, мы можем рекурсивно вычислить значение суммы для любого значения n, начиная с n = 1 и продвигаясь дальше.

Но мы также можем найти замкнутую формулу для вычисления суммы напрямую, без использования рекурсии. Давайте представим исходное выражение в следующем виде:

S(n) = 3^1 + 3^2 + ... + 3^n

Чтобы найти замкнутую формулу, мы можем воспользоваться известной формулой суммы геометрической прогрессии:

S(n) = a * (r^n - 1) / (r - 1),

где a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

В данной задаче, первый член прогрессии a = 3, а знаменатель прогрессии r также равен 3.

Подставляя значения в формулу, мы получаем:

S(n) = 3 * (3^n - 1) / (3 - 1)

Упрощая выражение, получаем окончательную замкнутую формулу:

S(n) = 3^(n+1) - 3

Таким образом, значение выражения 3^1 + 3^2 + ... + 3^n равно 3^(n+1) - 3 для любого натурального числа n.

Надеюсь, данное объяснение помогло вам понять решение задачи.