Каково значение выражения (12^x+3)/(3^x-2), если мы знаем, что (2^x) равно 0,25?

Для решения данной задачи мы можем использовать известное значение \(2^x = 0,25\) для нахождения значения \(x\).

Начнем с выражения \(2^x\), которое равно 0,25. Чтобы избавиться от степени и выразить \(x\), мы можем применить логарифмы. Применим логарифм по основанию 2 к обеим сторонам уравнения:

\[\log_2(2^x) = \log_2(0,25)\]

По свойству логарифма \(\log_a(a^b) = b\) и определению логарифма \(\log_a(c) = b\) означает \(a^b = c\), получаем:

\[x \log_2(2) = \log_2(0,25)\]

Поскольку \(\log_2(2) = 1\), выполняется:

\[x = \log_2(0,25)\]

Для решения этого логарифма мы можем использовать правило, что \(\log_a(b) = \frac{{\log_c(b)}}{{\log_c(a)}}\), где \(c\) это произвольное положительное число, отличное от 1. Давайте возьмем \(c = 10\), чтобы воспользоваться обычными логарифмами:

\[x = \frac{{\log_{10}(0,25)}}{{\log_{10}(2)}}\]

Используя калькулятор, мы можем найти, что \(\log_{10}(0,25) \approx -0,602\) и \(\log_{10}(2) \approx 0,301\). Подставим эти значения:

\[x = \frac{{-0,602}}{{0,301}}\]

Нулевые степени и сокращения дадут нам итоговый результат:

\[x = -2\]

Теперь, когда мы знаем значение \(x\), мы можем использовать его, чтобы найти значение данного выражения \(\frac{{12^x+3}}{{3^x-2}}\):

\[\frac{{12^{-2}+3}}{{3^{-2}-2}}\]

Продолжим с вычислениями:

\[\frac{{\frac{1}{{12^2}}+3}}{{\frac{1}{{3^2}}-2}}\]

\[\frac{{\frac{1}{144}+3}}{{\frac{1}{9}-2}}\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{{\frac{1}{144}+3 \cdot \frac{144}{144}}}{{\frac{1}{9}-2 \cdot \frac{9}{9}}}\]

\[\frac{{\frac{1}{144} + \frac{432}{144}}}{{\frac{1}{9}-\frac{18}{9}}}\]

Суммируем числители и вычитаем знаменатели:

\[\frac{{\frac{433}{144}}}{{-\frac{17}{9}}}\]

Умножаем на обратное значение знаменателя:

\[\frac{{433 \cdot 9}}{{144 \cdot (-17)}}\]

Далее, упростим числитель и знаменатель:

\[\frac{{3897}}{{-2448}}\]

Обратим знак и получим:

\[-\frac{{3897}}{{2448}}\]

Итак, значение данного выражения \(\frac{{12^x+3}}{{3^x-2}}\) при условии \(x = -2\) равно \(-\frac{{3897}}{{2448}}\).