Каково значение tga, если 3sina+5cosa+1/2sina+cosa+4=1/4?

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Объединение подобных слагаемых

У нас есть два слагаемых с функцией синуса \((3\sin a)\) и \((\frac{1}{2}\sin a)\), и два слагаемых с функцией косинуса \((5\cos a)\) и \((\cos a)\). Мы можем объединить их, чтобы упростить выражение:

\[3\sin a + \frac{1}{2}\sin a + 5\cos a + \cos a + 4 = 1/4\]

\[(3 + \frac{1}{2})\sin a + (5 + 1)\cos a + 4 = 1/4\]

\[\frac{7}{2}\sin a + 6\cos a + 4 = 1/4\]

Шаг 2: Перенос слагаемого справа налево

Чтобы найти значение \(tga\), нам нужно выразить \(tga\) через функции синуса и косинуса. Для этого мы перенесем слагаемое справа налево:

\[\frac{7}{2}\sin a + 6\cos a = 1/4 - 4\]

\[\frac{7}{2}\sin a + 6\cos a = -15/4\]

Шаг 3: Использование тригонометрических тождеств

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы выразить выражение через тангенс и косинус:

\(\sin a = \frac{\tan a}{\sqrt{1 + \tan^2 a}}\)

\(\cos a = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 a}}\)

Подставим эти значения:

\[\frac{7}{2} \cdot \frac{\tan a}{\sqrt{1 + \tan^2 a}} + 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 a}} = -15/4\]

Шаг 4: Решение уравнения

Теперь мы можем решить это уравнение. Для удобства, введем временную переменную \(x = \tan a\):

\[\frac{7}{2} \cdot \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} + 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = -15/4\]

Умножим оба выражения на \(\sqrt{1 + x^2}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[\frac{7}{2}x + 6 = -\frac{15}{4}\sqrt{1 + x^2}\]

Теперь возводим оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[\left(\frac{7}{2}x + 6\right)^2 = \left(-\frac{15}{4}\sqrt{1 + x^2}\right)^2\]

\[\frac{49}{4}x^2 + 42x + 36 = \frac{225}{16}(1 + x^2)\]

\[\frac{49}{4}x^2 + 42x + 36 = \frac{225}{16} + \frac{225}{16}x^2\]

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

\[\frac{49}{4}x^2 - \frac{225}{16}x^2 + 42x - \frac{225}{16} = 0\]

\[\frac{49}{4} \cdot \frac{16}{16}x^2 - \frac{225}{16} \cdot \frac{4}{4}x^2 + 42x - \frac{225}{16} = 0\]

\[\frac{784}{16}x^2 - \frac{900}{16}x^2 + 42x - \frac{225}{16} = 0\]

\[\frac{784 - 900}{16}x^2 + 42x - \frac{225}{16} = 0\]

\[-\frac{116}{16}x^2 + 42x - \frac{225}{16} = 0\]

\[-\frac{29}{4}x^2 + \frac{168}{4}x - \frac{225}{16} = 0\]

\[-29x^2 + 168x - \frac{225}{4} = 0\]

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение для \(x\). Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\)

где \(a = -29\), \(b = 168\), \(c = -\frac{225}{4}\).

\[D = (168)^2 - 4(-29)(-\frac{225}{4})\]

\[D = 28224 - 4 \cdot 29 \cdot \frac{225}{4}\]

\[D = 28224 + 26100\]

\[D = 54324\]

Так как дискриминант \(D\) больше нуля, у нас есть два корня для \(x\):

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x = \frac{-168 \pm \sqrt{54324}}{2(-29)}\]

\[x = \frac{-168 \pm \sqrt{54324}}{-58}\]

\[x = \frac{168 \pm \sqrt{54324}}{58}\]

Шаг 6: Вычисление значения \(tga\)

Мы можем рассчитать значение \(tga\) из найденных корней \(x\). Напомним, что \(x = \tan a\). Возьмем положительный корень:

\[x = \frac{168 + \sqrt{54324}}{58}\]

\[tga = \tan a = \frac{168 + \sqrt{54324}}{58}\]

Поэтому значение \(tga\) равно \(\frac{168 + \sqrt{54324}}{58}\).

Обратите внимание, что это достаточно сложное значение, которое может быть округлено или приближено в конкретной задаче, если требуется более простой ответ.