Каково значение производной функции z=x^2-2xy+3y-1 в точке (1;2) в направлении l (-1

Чтобы найти значение производной функции \(z = x^2 - 2xy + 3y - 1\) в точке (1;2) в направлении \(l\), мы должны использовать понятие градиента функции и направляющих векторов.

Сначала найдем градиент функции по формуле:

\[\nabla z = \frac{{\partial z}}{{\partial x}} \mathbf{i} + \frac{{\partial z}}{{\partial y}} \mathbf{j}\]

где \(\mathbf{i}\) и \(\mathbf{j}\) - единичные векторы, указывающие на ось \(x\) и \(y\) соответственно.

Теперь найдем парциальные производные функции \(z\) по \(x\) и \(y\):

\[\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 2x - 2y\]
\[\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = -2x + 3\]

Подставим значения \(x = 1\) и \(y = 2\) в эти выражения, получим:

\[\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 2(1) - 2(2) = -2\]
\[\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = -2(1) + 3 = 1\]

Теперь найдем направляющий вектор \(l\). Для этого возьмем координаты концевой точки направляющего вектора минус координаты начальной точки направляющего вектора:

\[\mathbf{l} = \mathbf{l_2} - \mathbf{l_1}\]
\[\mathbf{l} = (-1) - 1\mathbf{i} + (0 - 2)\mathbf{j}\]
\[\mathbf{l} = -2\mathbf{i} - 2\mathbf{j}\]

Теперь найдем скалярное произведение градиента функции и направляющего вектора:

\[\nabla z \cdot \mathbf{l} = \left(\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\mathbf{i} + \frac{{\partial z}}{{\partial y}}\mathbf{j}\right) \cdot (-2\mathbf{i} - 2\mathbf{j})\]
\[\nabla z \cdot \mathbf{l} = \left(-2\mathbf{i} + \mathbf{j}\right) \cdot (-2\mathbf{i} - 2\mathbf{j})\]
\[\nabla z \cdot \mathbf{l} = (-2)(-2) + 1(-2)\]
\[\nabla z \cdot \mathbf{l} = 4 - 2\]
\[\nabla z \cdot \mathbf{l} = 2\]

Таким образом, значение производной функции в точке (1;2) в направлении \(l\) равно 2.