Каково значение производной функции z=x^2-2xy+3y-1 в точке (1;2) в направлении

Question

Математика: Каково значение производной функции z=x^2-2xy+3y-1 в точке (1;2) в направлении l (-1

Strekoza · Accepted Answer

Чтобы найти значение производной функции

z = x^{2} - 2 x y + 3 y - 1

в точке (1;2) в направлении

l

, мы должны использовать понятие градиента функции и направляющих векторов.

Сначала найдем градиент функции по формуле:

\nabla z = \frac{\partial z}{\partial x} i + \frac{\partial z}{\partial y} j

где

i

и

j

- единичные векторы, указывающие на ось

x

и

y

соответственно.

Теперь найдем парциальные производные функции

z

по

x

и

y

:

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x - 2 y

\frac{\partial z}{\partial y} = - 2 x + 3

Подставим значения

x = 1

и

y = 2

в эти выражения, получим:

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 (1) - 2 (2) = - 2

\frac{\partial z}{\partial y} = - 2 (1) + 3 = 1

Теперь найдем направляющий вектор

l

. Для этого возьмем координаты концевой точки направляющего вектора минус координаты начальной точки направляющего вектора:

l = l_{2} - l_{1}

l = (- 1) - 1 i + (0 - 2) j

l = - 2 i - 2 j

Теперь найдем скалярное произведение градиента функции и направляющего вектора:

\nabla z \cdot l = (\frac{\partial z}{\partial x} i + \frac{\partial z}{\partial y} j) \cdot (- 2 i - 2 j)

\nabla z \cdot l = (- 2 i + j) \cdot (- 2 i - 2 j)

\nabla z \cdot l = (- 2) (- 2) + 1 (- 2)

\nabla z \cdot l = 4 - 2

\nabla z \cdot l = 2

Таким образом, значение производной функции в точке (1;2) в направлении

l

равно 2.

Каково значение производной функции z=x^2-2xy+3y-1 в точке (1;2) в направлении l (-1