Каково значение cos ( x ) , если sin ( x ) = − √ 15 4 и x находится в диапазоне между 270 ∘ и 360

Дано: $\sin (x)=-\frac{\sqrt{15}}{4}$ и $x$ находится в диапазоне между ${270}^{\circ }$ и ${360}^{\circ }$.

Мы знаем, что синус $x$ равен отношению противоположного катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. В этом случае, $\sin (x)=-\frac{\sqrt{15}}{4}$, что означает, что отношение противоположного катета к гипотенузе равно $-\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину противоположного катета $b$ и гипотенузы $c$:

$$a^2+b^2=c^2$$

где $a$ - это смежный катет, а $c$ - гипотенуза.

В этом случае $a=4$ (поскольку противоположный катет равен длине 4, поскольку допустимые значения $x$).

$$(4{)}^2+b^2=c^2$$
$$16+b^2=c^2$$

Также, мы знаем, что $x$ находится в диапазоне между ${270}^{\circ }$ и ${360}^{\circ }$, что означает, что $x$ лежит в третьем квадранте. В третьем квадранте, и $sin(x)$ является отрицательным числом, а $cos(x)$ является положительным числом.

Теперь, мы можем использовать формулу $\cos (x)=\frac{a}{c}$, чтобы найти значение $\cos (x)$:

$$\cos (x)=\frac{4}{c}$$

Нам нужно найти длину гипотенузы $c$. Давайте найдем $c$, используя наше уравнение $16+b^2=c^2$:

$$b^2=c^2-16$$
$$b=\sqrt{c^2-16}$$

Используя теорему Пифагора, мы также знаем, что гипотенуза $c$ равна:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$
$$c=\sqrt{16+b^2}$$

Таким образом, мы можем сформулировать уравнение $\cos (x)$ с использованием выражений, которые мы нашли:

$$\cos (x)=\frac{4}{\sqrt{16+b^2}}$$

Теперь, мы должны выразить $b$ через $\sin (x)$:

$$\sin (x)=-\frac{\sqrt{15}}{4}=-\frac{b}{c}$$
$$b=(-\frac{\sqrt{15}}{4})\cdot c$$

Теперь, подставляя это значение обратно в уравнение для $\cos (x)$, получим окончательное решение:

$$\cos (x)=\frac{4}{\sqrt{16+{(-\frac{\sqrt{15}}{4}\cdot c)}^2}}$$

Теперь, чтобы найти конкретное значение $\cos (x)$, нам нужно определить значение гипотенузы $c$. Однако, так как нам дано только значение $\sin (x)$, мы не можем точно определить числовое значение $\cos (x)$ с помощью данной информации.

Итак, значение $\cos (x)$, если $\sin (x)=-\frac{\sqrt{15}}{4}$ и $x$ находится в диапазоне между ${270}^{\circ }$ и ${360}^{\circ }$, не может быть определено только с использованием предоставленных данных. Нам нужна дополнительная информация для определения конкретного значения $\cos (x)$.