Каково значение cos ( x ) , если sin ( x ) = − √ 15 4 и x находится в диапазоне между 270 ∘ и 360

Дано: \(\sin(x) = -\frac{\sqrt{15}}{4}\) и \(x\) находится в диапазоне между \(270^\circ\) и \(360^\circ\).

Мы знаем, что синус \(x\) равен отношению противоположного катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. В этом случае, \(\sin(x) = -\frac{\sqrt{15}}{4}\), что означает, что отношение противоположного катета к гипотенузе равно \(-\frac{\sqrt{15}}{4}\).

Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину противоположного катета \(b\) и гипотенузы \(c\):

\[a^2 + b^2 = c^2\]

где \(a\) - это смежный катет, а \(c\) - гипотенуза.

В этом случае \(a = 4\) (поскольку противоположный катет равен длине 4, поскольку допустимые значения \(x\)).

\[(4)^2 + b^2 = c^2\]
\[16 + b^2 = c^2\]

Также, мы знаем, что \( x \) находится в диапазоне между \(270^\circ\) и \(360^\circ\), что означает, что \( x \) лежит в третьем квадранте. В третьем квадранте, и \(sin(x)\) является отрицательным числом, а \(cos(x)\) является положительным числом.

Теперь, мы можем использовать формулу \(\cos(x) = \frac{a}{c}\), чтобы найти значение \(\cos(x)\):

\[\cos(x) = \frac{4}{c}\]

Нам нужно найти длину гипотенузы \(c\). Давайте найдем \(c\), используя наше уравнение \(16 + b^2 = c^2\):

\[b^2 = c^2 - 16\]
\[b = \sqrt{c^2 - 16}\]

Используя теорему Пифагора, мы также знаем, что гипотенуза \(c\) равна:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]
\[c = \sqrt{16 + b^2}\]

Таким образом, мы можем сформулировать уравнение \(\cos(x)\) с использованием выражений, которые мы нашли:

\[\cos(x) = \frac{4}{\sqrt{16 + b^2}}\]

Теперь, мы должны выразить \(b\) через \(\sin(x)\):

\[\sin(x) = -\frac{\sqrt{15}}{4} = -\frac{b}{c}\]
\[b = \left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right) \cdot c\]

Теперь, подставляя это значение обратно в уравнение для \(\cos(x)\), получим окончательное решение:

\[\cos(x) = \frac{4}{\sqrt{16 + \left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\cdot c\right)^2}}\]

Теперь, чтобы найти конкретное значение \(\cos(x)\), нам нужно определить значение гипотенузы \(c\). Однако, так как нам дано только значение \(\sin(x)\), мы не можем точно определить числовое значение \(\cos(x)\) с помощью данной информации.

Итак, значение \(\cos(x)\), если \(\sin(x) = -\frac{\sqrt{15}}{4}\) и \(x\) находится в диапазоне между \(270^\circ\) и \(360^\circ\), не может быть определено только с использованием предоставленных данных. Нам нужна дополнительная информация для определения конкретного значения \(\cos(x)\).