Каково значение cos(a-π/4), если значение cosa равно -1/3?

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

У нас дано, что значение \(\cos a\) равно \(-\frac{1}{3}\). Мы должны вычислить значение \(\cos(a-\frac{\pi}{4})\).

Шаг 1: Найдем значение угла \(a-\frac{\pi}{4}\).

Мы знаем, что \(\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Теперь используя это значение, мы можем выразить \(\cos(a-\frac{\pi}{4})\) через \(\cos a\) и \(\cos(\frac{\pi}{4})\):

\[\cos(a-\frac{\pi}{4}) = \cos a \cdot \cos(\frac{\pi}{4}) + \sin a \cdot \sin(\frac{\pi}{4})\]

Шаг 2: Подставим значение \(\cos a = -\frac{1}{3}\) в формулу.

\[\cos(a-\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin a \cdot \sin(\frac{\pi}{4})\]

Теперь нам нужно найти значение \(\sin a\) для полного решения задачи. У нас нет прямой информации о \(\sin a\), но мы можем воспользоваться теоремой Пифагора: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\). Подставим значение \(\cos a = -\frac{1}{3}\):

\[\sin^2 a + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1\]

\[\sin^2 a + \frac{1}{9} = 1\]

\[\sin^2 a = \frac{8}{9}\]

\[\sin a = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\]

Таким образом, мы получили два возможных значения для \(\sin a\): \(\sin a = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) или \(\sin a = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\).

Шаг 3: Подставим найденное значение \(\sin a\) в формулу для \(\cos(a-\frac{\pi}{4})\):

\[\cos(a-\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \cdot \sin(\frac{\pi}{4})\]

Теперь вычислим значение \(\cos(a-\frac{\pi}{4})\):

\[\cos(a-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[\cos(a-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2}{3}\]

\[\cos(a-\frac{\pi}{4}) = \frac{2 - \sqrt{2}}{3}\]

Таким образом, значение \(\cos(a-\frac{\pi}{4})\) при заданном значении \(\cos a = -\frac{1}{3}\) равно \(\frac{2 - \sqrt{2}}{3}\).