Каково время, в которое ускорение пассажирского поезда составляет a=212, при условии, что скорость поезда изменяется

Хорошо, давайте решим задачу. У нас есть формула для скорости поезда, которая задана как \(v(t) = 8t^3 - 4t\), где \(t\) - время в часах.

Для того чтобы найти ускорение, нам нужно взять производную скорости по времени \(t\). Производная функции \(v(t)\) покажет, как скорость изменяется со временем.

\[a(t) = \frac{dv}{dt}\]

Производная функции \(v(t)\) будет выглядеть так:

\[a(t) = \frac{d}{dt}(8t^3 - 4t)\]

Чтобы упростить решение, мы можем взять производную каждого слагаемого по отдельности и применить правила дифференцирования. Производная константы равна нулю, поэтому результат упростится.

\[a(t) = \frac{d}{dt}(8t^3) - \frac{d}{dt}(4t)\]
\[a(t) = 24t^2 - 4\]

Таким образом, ускорение пассажирского поезда равно \(a(t) = 24t^2 - 4\).

Теперь у нас есть уравнение для ускорения поезда. Чтобы найти время \(t\), когда ускорение равно \(a = 212\), мы можем подставить \(212\) вместо \(a(t)\) и решить уравнение:

\[212 = 24t^2 - 4\]

Для удобства, перенесем \(212\) на другую сторону:

\[24t^2 - 4 - 212 = 0\]

\[24t^2 - 216 = 0\]

Получилось квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы дискриминанта.

Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае, уравнение имеет вид:
\[24t^2 - 216 = 0\]

Следовательно, \(a = 24\), \(b = 0\), и \(c = -216\).

Вычислим дискриминант:
\[D = b^2 - 4ac = 0 - 4(24)(-216) = 20736\]

Так как дискриминант \(D = 20736 > 0\), у нас есть два корня.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:
\[t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения \(a = 24\), \(b = 0\) и \(D = 20736\) в формулу:

\[t = \frac{-0 \pm \sqrt{20736}}{2(24)}\]

\[t = \frac{\pm 144}{48}\]

Теперь рассмотрим два случая:

Когда \(t = \frac{144}{48}\), мы получаем:
\[t = 3\]

Когда \(t = \frac{-144}{48}\), мы получаем:
\[t = -3\]

Итак, время, в которое ускорение пассажирского поезда составляет \(a = 212\), равно \(t = 3\) часа.