Каково время движения кирпича по деревянному желобу во время разборки каменной стены высотой 2,5 м, если угол наклона желоба к горизонту составляет 30°, а коэффициент трения кирпича по дереву равен 0,46?
Зимний_Мечтатель
Для решения данной задачи мы можем использовать законы динамики и принцип сохранения энергии. Давайте начнем с определения ускорения кирпича вдоль желоба.
Известно, что сила трения \( F_{тр} \) между кирпичом и деревянным желобом равна произведению коэффициента трения \( \mu \) на нормальную силу \( F_{н} \), которая равна весу кирпича \( F_{в} \):
\[ F_{тр} = \mu \cdot F_{н} \]
Так как кирпич движется по наклонной плоскости, составляющей угол \( \alpha \) с горизонтом, нормальная сила равна проекции веса кирпича \( F_{в} \) на ось \( OX \):
\[ F_{н} = F_{в} \cdot \cos(\alpha) \]
Вес кирпича \( F_{в} \) равен массе кирпича \( m \) на ускорение свободного падения \( g \):
\[ F_{в} = m \cdot g \]
Теперь мы можем выразить силу трения через массу кирпича и ускорение свободного падения:
\[ F_{тр} = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) \]
Согласно второму закону Ньютона, сила трения равна произведению массы кирпича на его ускорение:
\[ F_{тр} = m \cdot a \]
Таким образом, мы можем приравнять два выражения для силы трения:
\[ \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) = m \cdot a \]
Сократив массу кирпича \( m \) с обеих сторон, получаем:
\[ \mu \cdot g \cdot \cos(\alpha) = a \]
Теперь нам нужно найти ускорение \( a \).
Для этого мы можем использовать принцип сохранения энергии. Изначально кирпич находится на высоте \( h_1 = 2,5 \) метров от земли. В конечной точке его высота будет равна нулю \( h_2 = 0 \). Поэтому изменение потенциальной энергии кирпича равно:
\[ \Delta E_{пот} = m \cdot g \cdot (h_2 - h_1) \]
Также учтем, что кирпич будет терять энергию из-за силы трения, работа этой силы равна:
\[ A_{тр} = F_{тр} \cdot s \]
Где \( s \) - расстояние, которое перемещается кирпич вдоль желоба. Расстояние \( s \) связано с высотой \( h_1 \) и углом наклона желоба \( \alpha \):
\[ s = h_1 \cdot \csc(\alpha) \]
Подставляя все значения, получим:
\[ A_{тр} = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) \cdot h_1 \cdot \csc(\alpha) \]
Таким образом, изменение механической энергии кирпича равно работе силы трения:
\[ \Delta E_{мех} = A_{тр} \]
\[ \Delta E_{пот} + \Delta E_{кин} = A_{тр} \]
\[ m \cdot g \cdot (h_2 - h_1) + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) \cdot h_1 \cdot \csc(\alpha) \]
Где \( v \) - скорость кирпича.
Теперь нам нужно найти скорость кирпича \( v \). Заметим, что когда кирпич достигает нулевой высоты, его скорость равна 0, так как вся его потенциальная энергия превратилась в кинетическую энергию. Таким образом, уравнение примет вид:
\[ m \cdot g \cdot h_1 = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) \cdot h_1 \cdot \csc(\alpha) \]
Сокращая массу кирпича и ускорение свободного падения, получаем:
\[ 1 = \mu \cdot \cos(\alpha) \cdot \csc(\alpha) \]
Теперь мы можем решить это уравнение относительно угла наклона желоба \( \alpha \):
\[ \mu \cdot \cos(\alpha) \cdot \csc(\alpha) = 1 \]
\[ \mu \cdot \cot(\alpha) = 1 \]
\[ \cot(\alpha) = \frac{1}{\mu} \]
\[ \alpha = \arctan\left(\frac{1}{\mu}\right) \]
Подставляя значение коэффициента трения \( \mu = 0,46 \), получаем:
\[ \alpha = \arctan\left(\frac{1}{0,46}\right) \approx 63,78^\circ \]
Итак, угол наклона желоба \( \alpha \approx 63,78^\circ \).
Теперь мы можем найти время движения кирпича по желобу. Для этого воспользуемся уравнением равноускоренного движения:
\[ s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \]
Где \( s \) - расстояние, \( v_0 \) - начальная скорость (равна 0 в данном случае), \( a \) - ускорение, \( t \) - время.
Подставляя значения \( s = h_1 \), \( v_0 = 0 \) и \( a = g \cdot \sin(\alpha) \), получаем:
\[ h_1 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot g \cdot \sin(\alpha) \cdot t^2 \]
\[ h_1 = \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot \sin(63,78^\circ) \cdot t^2 \]
\[ 2 \cdot h_1 = 9,8 \cdot \sin(63,78^\circ) \cdot t^2 \]
\[ t^2 = \frac{2 \cdot h_1}{9,8 \cdot \sin(63,78^\circ)} \]
\[ t = \sqrt{\frac{2 \cdot h_1}{9,8 \cdot \sin(63,78^\circ)}} \]
\[ t \approx \sqrt{\frac{2 \cdot 2,5}{9,8 \cdot \sin(63,78^\circ)}} \approx 1,24 \, \text{сек} \]
Таким образом, время движения кирпича по желобу при разборке стены составляет около 1,24 секунд.
Известно, что сила трения \( F_{тр} \) между кирпичом и деревянным желобом равна произведению коэффициента трения \( \mu \) на нормальную силу \( F_{н} \), которая равна весу кирпича \( F_{в} \):
\[ F_{тр} = \mu \cdot F_{н} \]
Так как кирпич движется по наклонной плоскости, составляющей угол \( \alpha \) с горизонтом, нормальная сила равна проекции веса кирпича \( F_{в} \) на ось \( OX \):
\[ F_{н} = F_{в} \cdot \cos(\alpha) \]
Вес кирпича \( F_{в} \) равен массе кирпича \( m \) на ускорение свободного падения \( g \):
\[ F_{в} = m \cdot g \]
Теперь мы можем выразить силу трения через массу кирпича и ускорение свободного падения:
\[ F_{тр} = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) \]
Согласно второму закону Ньютона, сила трения равна произведению массы кирпича на его ускорение:
\[ F_{тр} = m \cdot a \]
Таким образом, мы можем приравнять два выражения для силы трения:
\[ \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) = m \cdot a \]
Сократив массу кирпича \( m \) с обеих сторон, получаем:
\[ \mu \cdot g \cdot \cos(\alpha) = a \]
Теперь нам нужно найти ускорение \( a \).
Для этого мы можем использовать принцип сохранения энергии. Изначально кирпич находится на высоте \( h_1 = 2,5 \) метров от земли. В конечной точке его высота будет равна нулю \( h_2 = 0 \). Поэтому изменение потенциальной энергии кирпича равно:
\[ \Delta E_{пот} = m \cdot g \cdot (h_2 - h_1) \]
Также учтем, что кирпич будет терять энергию из-за силы трения, работа этой силы равна:
\[ A_{тр} = F_{тр} \cdot s \]
Где \( s \) - расстояние, которое перемещается кирпич вдоль желоба. Расстояние \( s \) связано с высотой \( h_1 \) и углом наклона желоба \( \alpha \):
\[ s = h_1 \cdot \csc(\alpha) \]
Подставляя все значения, получим:
\[ A_{тр} = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) \cdot h_1 \cdot \csc(\alpha) \]
Таким образом, изменение механической энергии кирпича равно работе силы трения:
\[ \Delta E_{мех} = A_{тр} \]
\[ \Delta E_{пот} + \Delta E_{кин} = A_{тр} \]
\[ m \cdot g \cdot (h_2 - h_1) + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) \cdot h_1 \cdot \csc(\alpha) \]
Где \( v \) - скорость кирпича.
Теперь нам нужно найти скорость кирпича \( v \). Заметим, что когда кирпич достигает нулевой высоты, его скорость равна 0, так как вся его потенциальная энергия превратилась в кинетическую энергию. Таким образом, уравнение примет вид:
\[ m \cdot g \cdot h_1 = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) \cdot h_1 \cdot \csc(\alpha) \]
Сокращая массу кирпича и ускорение свободного падения, получаем:
\[ 1 = \mu \cdot \cos(\alpha) \cdot \csc(\alpha) \]
Теперь мы можем решить это уравнение относительно угла наклона желоба \( \alpha \):
\[ \mu \cdot \cos(\alpha) \cdot \csc(\alpha) = 1 \]
\[ \mu \cdot \cot(\alpha) = 1 \]
\[ \cot(\alpha) = \frac{1}{\mu} \]
\[ \alpha = \arctan\left(\frac{1}{\mu}\right) \]
Подставляя значение коэффициента трения \( \mu = 0,46 \), получаем:
\[ \alpha = \arctan\left(\frac{1}{0,46}\right) \approx 63,78^\circ \]
Итак, угол наклона желоба \( \alpha \approx 63,78^\circ \).
Теперь мы можем найти время движения кирпича по желобу. Для этого воспользуемся уравнением равноускоренного движения:
\[ s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \]
Где \( s \) - расстояние, \( v_0 \) - начальная скорость (равна 0 в данном случае), \( a \) - ускорение, \( t \) - время.
Подставляя значения \( s = h_1 \), \( v_0 = 0 \) и \( a = g \cdot \sin(\alpha) \), получаем:
\[ h_1 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot g \cdot \sin(\alpha) \cdot t^2 \]
\[ h_1 = \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot \sin(63,78^\circ) \cdot t^2 \]
\[ 2 \cdot h_1 = 9,8 \cdot \sin(63,78^\circ) \cdot t^2 \]
\[ t^2 = \frac{2 \cdot h_1}{9,8 \cdot \sin(63,78^\circ)} \]
\[ t = \sqrt{\frac{2 \cdot h_1}{9,8 \cdot \sin(63,78^\circ)}} \]
\[ t \approx \sqrt{\frac{2 \cdot 2,5}{9,8 \cdot \sin(63,78^\circ)}} \approx 1,24 \, \text{сек} \]
Таким образом, время движения кирпича по желобу при разборке стены составляет около 1,24 секунд.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
