Каково вертикальное смещение h нижней доски, если её толщина a = 4,5 см, а доска погрузилась в воду на 2/3 своего

Для нахождения вертикального смещения нижней доски, нужно учесть погружение первой доски в воду и вес второй и третьей досок.

Погружение первой доски в воду составляет 2/3 её объема. Так как объем доски можно выразить через произведение площади основания на толщину, то объем погружения первой доски будет равен:

\[V_1 = \frac{2}{3} \cdot S \cdot a\]

где S - площадь основания доски, а a - её толщина.

Теперь на эту погруженную доску аккуратно положили еще две такие же доски. Вес каждой доски равен массе, которая определяется через объем и плотность. Так как все доски имеют одинаковую толщину, площадь основания и плотность, их массы будут одинаковыми.

Тогда общий вес двух накладываемых досок будет равен удвоенной массе каждой из них:

\[m_{\text{досок}} = 2 \cdot m_1\]

Так как погружение определяется отношением силы Архимеда к весу тела, и сила Архимеда равна весу вытесненной ею жидкости, мы можем записать:

\[\frac{{V_1 \cdot \rho_{\text{воды}} \cdot g}}{{m_{\text{досок}} \cdot g}} = \frac{{V_2 \cdot \rho_{\text{воды}} \cdot g}}{{m_{\text{досок}} \cdot g}}\]

где \(V_2\) - объем погружения двух накладываемых досок, \(\rho_{\text{воды}}\) - плотность воды, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Раскрывая формулу, упрощаем и подставляя значения, получаем:

\[\frac{{\frac{2}{3} \cdot S \cdot a \cdot \rho_{\text{воды}} \cdot g}}{{2 \cdot m_1 \cdot g}} = \frac{{V_2 \cdot \rho_{\text{воды}} \cdot g}}{{2 \cdot m_1 \cdot g}}\]

Уничтожая равные знаменатели и переставляя члены уравнения, получаем:

\[\frac{{2 \cdot S \cdot a}}{{3 \cdot m_1}} = V_2\]

Теперь можем записать погружение двух накладываемых досок через их высоту:

\[V_2 = S \cdot h\]

где \(S\) - площадь основания досок, а \(h\) - искомое вертикальное смещение нижней доски.

Таким образом, получаем уравнение:

\[\frac{{2 \cdot S \cdot a}}{{3 \cdot m_1}} = S \cdot h\]

Отсюда находим значение вертикального смещения \(h\):

\[h = \frac{{2 \cdot a}}{{3 \cdot m_1}}\]

Однако, у нас отсутствует информация о площади основания и плотности доски. Поэтому, увы, мы не можем конкретно выразить вертикальное смещение нижней доски в сантиметрах. Единственное, что можем сделать - это предоставить формулу для вычисления этого смещения, но для получения числового значения нужно дополнительные данные.