Каково вертикальное смещение h нижней доски, если её толщина a = 4,5 см, а доска погрузилась в воду на 2/3 своего

Для нахождения вертикального смещения нижней доски, нужно учесть погружение первой доски в воду и вес второй и третьей досок.

Погружение первой доски в воду составляет 2/3 её объема. Так как объем доски можно выразить через произведение площади основания на толщину, то объем погружения первой доски будет равен:

$$V_1=\frac{2}{3}\cdot S\cdot a$$

где S - площадь основания доски, а a - её толщина.

Теперь на эту погруженную доску аккуратно положили еще две такие же доски. Вес каждой доски равен массе, которая определяется через объем и плотность. Так как все доски имеют одинаковую толщину, площадь основания и плотность, их массы будут одинаковыми.

Тогда общий вес двух накладываемых досок будет равен удвоенной массе каждой из них:

$$m_{\text{досок}}=2\cdot m_1$$

Так как погружение определяется отношением силы Архимеда к весу тела, и сила Архимеда равна весу вытесненной ею жидкости, мы можем записать:

$$\frac{V_1\cdot {\rho }_{\text{воды}}\cdot g}{m_{\text{досок}}\cdot g}=\frac{V_2\cdot {\rho }_{\text{воды}}\cdot g}{m_{\text{досок}}\cdot g}$$

где $V_2$ - объем погружения двух накладываемых досок, ${\rho }_{\text{воды}}$ - плотность воды, а $g$ - ускорение свободного падения.

Раскрывая формулу, упрощаем и подставляя значения, получаем:

$$\frac{\frac{2}{3}\cdot S\cdot a\cdot {\rho }_{\text{воды}}\cdot g}{2\cdot m_1\cdot g}=\frac{V_2\cdot {\rho }_{\text{воды}}\cdot g}{2\cdot m_1\cdot g}$$

Уничтожая равные знаменатели и переставляя члены уравнения, получаем:

$$\frac{2\cdot S\cdot a}{3\cdot m_1}=V_2$$

Теперь можем записать погружение двух накладываемых досок через их высоту:

$$V_2=S\cdot h$$

где $S$ - площадь основания досок, а $h$ - искомое вертикальное смещение нижней доски.

Таким образом, получаем уравнение:

$$\frac{2\cdot S\cdot a}{3\cdot m_1}=S\cdot h$$

Отсюда находим значение вертикального смещения $h$:

$$h=\frac{2\cdot a}{3\cdot m_1}$$

Однако, у нас отсутствует информация о площади основания и плотности доски. Поэтому, увы, мы не можем конкретно выразить вертикальное смещение нижней доски в сантиметрах. Единственное, что можем сделать - это предоставить формулу для вычисления этого смещения, но для получения числового значения нужно дополнительные данные.