Каково ускорение точки, движущейся по криволинейной траектории с радиусом кривизны 1 м в данной точке, при времени

Хорошо, чтобы найти ускорение точки, движущейся по криволинейной траектории, нам понадобятся формулы для радиуса кривизны и скорости.

Давайте начнем с того, что вспомним формулу для радиуса кривизны \( R \):
\[ R = \frac{{v^2}}{{a_n}} \]
где \( v \) - скорость точки, движущейся по траектории, а \( a_n \) - нормальное ускорение.

Теперь нам нужно выразить нормальное ускорение в терминах времени \( t \). Для этого мы можем использовать формулу для скорости точки, движущейся по кривой \( v \):
\[ v = \frac{{ds}}{{dt}} \]
где \( ds \) - элементарное приращение длины криволинейной траектории, а \( dt \) - элементарное приращение времени.

Объединяя эти две формулы, мы получим:
\[ R = \frac{{\left(\frac{{ds}}{{dt}}\right)^2}}{{a_n}} \]

Теперь, чтобы выразить ускорение точки, мы можем взять производную этого уравнения относительно времени \( t \). Это даст нам:
\[ \frac{{dR}}{{dt}} = \frac{{2\frac{{ds}}{{dt}}\cdot \frac{{d^2s}}{{dt^2}} - \left(\frac{{ds}}{{dt}}\right)^2 \cdot \frac{{da_n}}{{dt}}}}{{a_n^2}} \]

Таким образом, ускорение точки на криволинейной траектории при времени \( t \) может быть найдено по следующей формуле:
\[ a = \frac{{2v\cdot a_t - v^2\cdot a_n}}{{v^4}} \]
где \( a_t \) - касательное ускорение, а \( a_n \) - нормальное ускорение.

Это формула для ускорения точки на криволинейной траектории при времени \( t \). Она учитывает и касательное, и нормальное ускорение точки. Чтобы получить конкретное численное значение ускорения, вам нужно знать значения скорости и ускорения в данный момент времени \( t \).