Каково ускорение свободного падения на поверхности планеты, у которой радиус в два раза больше, а масса в пять

Для того чтобы решить данную задачу, мы можем использовать закон всемирного тяготения, который формулируется так:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где F - сила притяжения между двумя телами, G - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы тел, а r - расстояние между центрами тел.

Для ускорения свободного падения нам понадобится сила притяжения, действующая на тело массой m у поверхности планеты. Мы также знаем, что ускорение свободного падения равно отношению силы притяжения к массе тела:

\[a = \frac{F}{m}\]

Теперь давайте выведем необходимые формулы для заданного примера.

Пусть \(R_1\) - радиус Земли, \(R_2\) - радиус другой планеты, \(M_1\) - масса Земли, \(M_2\) - масса другой планеты, \(g_1\) - ускорение свободного падения на Земле (равно 10 м/с²), и \(g_2\) - ускорение свободного падения на другой планете, которое мы хотим найти.

Первым шагом вычислим силу притяжения, действующую на тело массой m у поверхности Земли:

\[F_1 = \frac{{G \cdot M_1 \cdot m}}{{R_1^2}}\]

Теперь вычислим силу притяжения на поверхности другой планеты:

\[F_2 = \frac{{G \cdot M_2 \cdot m}}{{R_2^2}}\]

Так как масса тела m отсутствует в этих уравнениях, мы можем сократить ее и записать:

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{G \cdot M_2 \cdot m}}{{R_2^2}} \cdot \frac{{R_1^2}}{{G \cdot M_1 \cdot m}}\]

После сокращения массы тела m находим:

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{M_2}}{{M_1}} \cdot \frac{{R_1^2}}{{R_2^2}}\]

Теперь мы можем найти ускорение свободного падения на другой планете, используя уравнение \(a = \frac{F}{m}\):

\[g_2 = \frac{{F_2}}{{m}}\]

Подставим выражение для силы в это уравнение:

\[g_2 = \frac{{F_2}}{{m}} = \frac{{\frac{{M_2}}{{M_1}} \cdot \frac{{R_1^2}}{{R_2^2}} \cdot G \cdot M_1 \cdot m}}{{m}}\]

После сокращения массы тела m находим:

\[g_2 = \frac{{M_2 \cdot G}}{{R_2^2}} \cdot \frac{{R_1^2}}{{M_1}}\]

Теперь мы можем подставить значения, данные в задаче, и вычислить \(g_2\):

\[g_2 = \frac{{(5 \cdot 10^{24} \, \text{кг}) \cdot (6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2)}}{{(2 \cdot R_1)^2}} \cdot \frac{{R_1^2}}{{(1 \cdot 10^{24} \, \text{кг})}}\]

После вычислений мы найдем \(g_2\) в м/с². Но для удобства вычислений и чтения ответа, я предлагаю приступить к сокращению.

\[g_2 = \frac{{5 \cdot 6,67}}{{4 \cdot 2^2 \cdot 1}} \, \text{м/с²}\]

\[g_2 = \frac{{33,35}}{{4 \cdot 4}} \, \text{м/с²}\]

\[g_2 = \frac{{33,35}}{{16}} \, \text{м/с²}\]

\[g_2 \approx 2,085 \, \text{м/с²}\]

Таким образом, ускорение свободного падения на поверхности планеты с удвоенным радиусом и пятьюкратной массой по сравнению с Землей составляет около 2,085 м/с².