Каково ускорение гири, если масса диска равна m1 и радиус R, и он может свободно вращаться вокруг своей оси без трения?

Пусть мгновенное ускорение гири будет равно $a$.

Ускорение определено как изменение скорости за единицу времени. Вращение диска происходит по окружности радиусом $R$, поэтому его скорость $v$ описывается формулой $v=R\cdot \omega$, где $\omega$ - угловая скорость диска.

Так как диск свободно вращается без трения, момент инерции $I$ диска относительно его оси вращения будет постоянным. Момент инерции диска можно выразить как $I=\frac{1}{2}{m}_1{R}^2$, где $m_1$ - масса диска.

Прикрепленная к гире невесомая нить создает силу натяжения $T$. В момент времени $t$, сила натяжения $T$ равна продукту массы гири $m_2$ и ее ускорения $a$, т.е. $T=m_2\cdot a$.

Согласно второму закону Ньютона, сумма всех сил, действующих на гирю, равна произведению массы гиры на ее ускорение. То есть $\mathrm{\Sigma }F=m_2\cdot a$.

Единственной силой, действующей на гиру, является сила натяжения $T$.

Таким образом, согласно второму закону Ньютона, у нас есть $\mathrm{\Sigma }F=T=m_2\cdot a$.

Мы также знаем, что момент инерции диска относительно его оси вращения $I$ связан с угловым ускорением $\alpha$ следующим образом: $I\cdot \alpha =\mathrm{\Sigma }\tau$, где $\mathrm{\Sigma }\tau$ - сумма всех моментов сил, действующих на диск.

Единственным моментом силы, действующей на диск, является момент силы натяжения нити.

Таким образом, у нас есть $I\cdot \alpha =R\cdot T=R\cdot m_2\cdot a$.

Массу гири $m_2$ можно выразить через ее момент инерции относительно оси вращения и радиус $r$ с помощью формулы $m_2=\frac{I_g}{r^2}$, где $I_g$ - момент инерции гири.

Подставим данное выражение и уравнение $I\cdot \alpha =R\cdot m_2\cdot a$ для гири в выражение $T=m_2\cdot a$:

$R\cdot m_2\cdot a=R\cdot \frac{I_g}{r^2}\cdot a$.

Сокращаем $a$:

$R\cdot m_2=R\cdot \frac{I_g}{r^2}$.

Исключаем радиус $R$:

$m_2=\frac{I_g}{r^2}$.

Теперь у нас есть выражение для массы гири $m_2$.

Остается найти ускорение гири $a$.

Для этого, выразив угловое ускорение через угловую скорость, получим $\alpha =\frac{a}{R}$.

Подставим данное выражение для углового ускорения в уравнение $I\cdot \alpha =R\cdot m_2\cdot a$:

$I\cdot \frac{a}{R}=R\cdot \frac{I_g}{r^2}\cdot a$.

Сокращаем $a$ и $R$:

$I=\frac{I_g}{r^2}$.

Теперь у нас есть выражение для момента инерции $I$ диска.

Сравниваем два выражения для массы гири $m_2$:

$m_2=\frac{I_g}{r^2}$ и $m_2=\frac{I}{R^2}$.

Выражение $\frac{I_g}{r^2}$ для массы гири должно быть равно выражению $\frac{I}{R^2}$.

Таким образом, имеем:

$\frac{I_g}{r^2}=\frac{I}{R^2}$.

Упростим выражение:

$I_g\cdot R^2=I\cdot r^2$.

Теперь у нас есть связь между моментами инерции диска и гири.

Подставляем данное выражение обратно в уравнение $I=\frac{I_g}{r^2}$:

$I=\frac{I\cdot r^2}{R^2}$.

Упрощаем выражение:

$I\cdot R^2=I\cdot r^2$.

Так как момент инерции диска $I$ относительно его оси вращения является постоянным, то $I\cdot R^2=I\cdot r^2$, и мы можем сократить $I$.

Окончательно получаем выражение:

$R^2=r^2$.

Таким образом, при условии, что гири и диск имеют одинаковые моменты инерции относительно своих осей вращения ($I_g=I$), ускорение гири будет равно нулю.