Каково ускорение гири, если масса диска равна m1 и радиус R, и он может свободно вращаться вокруг своей оси без трения?

Пусть мгновенное ускорение гири будет равно \(a\).

Ускорение определено как изменение скорости за единицу времени. Вращение диска происходит по окружности радиусом \(R\), поэтому его скорость \(v\) описывается формулой \(v = R \cdot \omega\), где \(\omega\) - угловая скорость диска.

Так как диск свободно вращается без трения, момент инерции \(I\) диска относительно его оси вращения будет постоянным. Момент инерции диска можно выразить как \(I = \frac{1}{2} m_1 R^2\), где \(m_1\) - масса диска.

Прикрепленная к гире невесомая нить создает силу натяжения \(T\). В момент времени \(t\), сила натяжения \(T\) равна продукту массы гири \(m_2\) и ее ускорения \(a\), т.е. \(T = m_2 \cdot a\).

Согласно второму закону Ньютона, сумма всех сил, действующих на гирю, равна произведению массы гиры на ее ускорение. То есть \(\Sigma F = m_2 \cdot a\).

Единственной силой, действующей на гиру, является сила натяжения \(T\).

Таким образом, согласно второму закону Ньютона, у нас есть \(\Sigma F = T = m_2 \cdot a\).

Мы также знаем, что момент инерции диска относительно его оси вращения \(I\) связан с угловым ускорением \(\alpha\) следующим образом: \(I \cdot \alpha = \Sigma \tau\), где \(\Sigma \tau\) - сумма всех моментов сил, действующих на диск.

Единственным моментом силы, действующей на диск, является момент силы натяжения нити.

Таким образом, у нас есть \(I \cdot \alpha = R \cdot T = R \cdot m_2 \cdot a\).

Массу гири \(m_2\) можно выразить через ее момент инерции относительно оси вращения и радиус \(r\) с помощью формулы \(m_2 = \frac{I_g}{r^2}\), где \(I_g\) - момент инерции гири.

Подставим данное выражение и уравнение \(I \cdot \alpha = R \cdot m_2 \cdot a\) для гири в выражение \(T = m_2 \cdot a\):

\(R \cdot m_2 \cdot a = R \cdot \frac{I_g}{r^2} \cdot a\).

Сокращаем \(a\):

\(R \cdot m_2 = R \cdot \frac{I_g}{r^2}\).

Исключаем радиус \(R\):

\(m_2 = \frac{I_g}{r^2}\).

Теперь у нас есть выражение для массы гири \(m_2\).

Остается найти ускорение гири \(a\).

Для этого, выразив угловое ускорение через угловую скорость, получим \(\alpha = \frac{a}{R}\).

Подставим данное выражение для углового ускорения в уравнение \(I \cdot \alpha = R \cdot m_2 \cdot a\):

\(I \cdot \frac{a}{R} = R \cdot \frac{I_g}{r^2} \cdot a\).

Сокращаем \(a\) и \(R\):

\(I = \frac{I_g}{r^2}\).

Теперь у нас есть выражение для момента инерции \(I\) диска.

Сравниваем два выражения для массы гири \(m_2\):

\(m_2 = \frac{I_g}{r^2}\) и \(m_2 = \frac{I}{R^2}\).

Выражение \(\frac{I_g}{r^2}\) для массы гири должно быть равно выражению \(\frac{I}{R^2}\).

Таким образом, имеем:

\(\frac{I_g}{r^2} = \frac{I}{R^2}\).

Упростим выражение:

\(I_g \cdot R^2 = I \cdot r^2\).

Теперь у нас есть связь между моментами инерции диска и гири.

Подставляем данное выражение обратно в уравнение \(I = \frac{I_g}{r^2}\):

\(I = \frac{I \cdot r^2}{R^2}\).

Упрощаем выражение:

\(I \cdot R^2 = I \cdot r^2\).

Так как момент инерции диска \(I\) относительно его оси вращения является постоянным, то \(I \cdot R^2 = I \cdot r^2\), и мы можем сократить \(I\).

Окончательно получаем выражение:

\(R^2 = r^2\).

Таким образом, при условии, что гири и диск имеют одинаковые моменты инерции относительно своих осей вращения (\(I_g = I\)), ускорение гири будет равно нулю.