Каково уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и находящейся на одинаковом расстоянии от точек М(2; 7; 3) и N(-1

Для решения этой задачи мы можем использовать следующий подход. Для начала, давайте найдем расстояние между точкой М(2; 7; 3) и N(-1; 4; 6). Затем, мы можем использовать симметрию и найти плоскость, которая находится на равном расстоянии от этих двух точек.

Шаг 1: Найдем расстояние между точкой М(2; 7; 3) и N(-1; 4; 6).
Для этого, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Подставляя значения координат точек М и N в эту формулу, получим:

\[d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (4 - 7)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27}\]

Таким образом, расстояние между точками М и N равно \(\sqrt{27}\) или \(3\sqrt{3}\).

Шаг 2: Используя симметрию, найдем плоскость, находящуюся на равном расстоянии от точек М(2; 7; 3) и N(-1; 4; 6).

Так как эта плоскость проходит через ось Оу, она должна иметь нормаль, параллельную вектору Оу, то есть (0; 1; 0).

Теперь, мы знаем, что расстояние между точками М и N равно \(3\sqrt{3}\). Если плоскость находится на равном расстоянии от этих точек, то каждая из этих точек должна быть на расстоянии \(1.5\sqrt{3}\) от плоскости.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и находящейся на одинаковом расстоянии от точек М(2; 7; 3) и N(-1; 4; 6), можно записать в виде:

\[y - y_0 = \frac{{1}}{{\sqrt{{a^2 + b^2 + c^2}}}}(a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0))\]

где (x_0, y_0, z_0) - координаты точки, через которую проходит плоскость (в данном случае (0, 0, 0)), а (a, b, c) - нормаль плоскости. Подставляя значения в эту формулу, получим:

\[y - 0 = \frac{{1}}{{\sqrt{{0^2 + 1^2 + 0^2}}}}(0(x - 0) + 1(y - 0) + 0(z - 0))\]

раскрывая скобки, получим:

\[y = \frac{{1}}{{\sqrt{{1}}}}(y - 0) = y\]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и находящейся на одинаковом расстоянии от точек М(2; 7; 3) и N(-1; 4; 6), имеет вид:

\[y = y\]

В данном случае, уравнение плоскости является тождественным уравнением и не содержит ограничений на координаты точек.