Каково уравнение плоскости, если точка А(1; -1; 3) является основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку \( A(1, -1, 3) \) и перпендикулярной отрезку, соединяющему точку \( K \) (начало координат) с этой плоскостью, мы можем использовать векторное уравнение плоскости.

Возьмем вектор плоскости \( \vec{N} \), который будет перпендикулярен плоскости. Этот вектор можно получить как векторное произведение двух векторов, лежащих на плоскости. Один из них - это вектор, направленный от точки \( K \) до точки \( A \), а второй вектор - это вектор, направленный от начала координат \( (0, 0, 0) \) до точки \( A \).

Первый вектор \( \vec{v_1} \) вычисляется как разность координат двух точек: \( \vec{v_1} = A - K = (1-0, -1-0, 3-0) = (1, -1, 3) \).

Второй вектор \( \vec{v_2} \) это координаты самой точки \( A \), с учетом, что начало координат \( K = (0, 0, 0) \): \( \vec{v_2} = A - K = (1-0, -1-0, 3-0) = (1, -1, 3) \).

Теперь мы можем использовать эти два вектора, чтобы найти вектор \( \vec{N} \), проходящий через точку \( A \) и перпендикулярный отрезку, соединяющему точку \( K \) с этой плоскостью. Это делается с помощью векторного произведения:

\[ \vec{N} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} \]

Подставим значения в данное уравнение:

\[ \vec{N} = (1, -1, 3) \times (1, -1, 3) \]

Вычислим векторное произведение:

\[ \vec{N} = \begin{vmatrix}
i & j & k \\
1 & -1 & 3 \\
1 & -1 & 3 \\
\end{vmatrix} \]

\[
= i \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}
- j \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}
+ k \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}
= i(-6) - j(0) + k(0)
= (-6, 0, 0)
\]

Таким образом, полученный вектор \( \vec{N} = (-6, 0, 0) \).

Используя уравнение плоскости в векторной форме и подставляя известные значения, мы получим:

\[ -6(x-1) + 0(y+1) + 0(z-3) = 0 \]

Это уравнение плоскости, проходящей через точку \( A(1, -1, 3) \) и перпендикулярной отрезку, соединяющему точку \( K \) с этой плоскостью.