Каково уравнение эллипса с фокусами (-5;0) и (5;0), если сумма полуосей равна

Чтобы найти уравнение эллипса с заданными фокусами и суммой полуосей, давайте рассмотрим некоторые основные определения и свойства.

Уравнение эллипса имеет общий вид:
\[
\frac{{(x - h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y - k)^2}}{{b^2}} = 1
\]
где (h, k) - координаты центра эллипса, a и b - полуоси эллипса.

Наши фокусы имеют координаты (-5, 0) и (5, 0). Заметим, что фокусы расположены на оси x, так как их координаты имеют y-координату равную 0. Сумма полуосей равна некоторому числу, которое мы пока не знаем и обозначим как 2c.

Формула для определения полуосей эллипса связана с фокусным расстоянием (c). Фокусное расстояние можно выразить через полуоси эллипса следующим образом:
\[
c = \sqrt{{a^2 - b^2}}
\]
где a > b.

Так как наша сумма полуосей равна 2c, мы можем записать:
\[
a + b = 2c
\]
Но поскольку мы еще не знаем значение суммы полуосей, нам нужно получить выражение для суммы полуосей через известные фокусы.

Расстояние между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) на плоскости может быть выражено с помощью формулы расстояния между точками:
\[
\sqrt{{(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2}}
\]

Мы знаем, что фокусы расположены на расстоянии 2c друг от друга, поэтому мы можем записать:
\[
2c = 5 - (-5) = 10
\]

Теперь мы можем решить систему уравнений, состоящую из уравнения, связывающего сумму полуосей и фокусное расстояние, и уравнения для фокусного расстояния:
\[
\begin{cases}
a + b = 2c \\
c = \sqrt{{a^2 - b^2}}
\end{cases}
\]

Мы можем решить первое уравнение относительно b и подставить его во второе уравнение:
\[
a + b = 2c \Rightarrow b = 2c - a
\]

Теперь мы можем записать уравнение для фокусного расстояния:
\[
c = \sqrt{{a^2 - (2c - a)^2}}
\]

Возведем оба выражения в квадрат и решим относительно a:
\[
c^2 = a^2 - (2c - a)^2
\]
\[
c^2 = a^2 - (4c^2 - 4ac + a^2)
\]
\[
c^2 = a^2 - 4c^2 + 4ac - a^2
\]
\[
5c^2 - 4ac = 0
\]
\[
c(5c - 4a) = 0
\]

Из этого уравнения мы видим два возможных значения для c: c = 0 или c = \(\frac{4a}{5}\).

Если c = 0, это означает, что фокусы находятся в одной точке, а уравнение эллипса становится уравнением окружности.

Если c = \(\frac{4a}{5}\), то мы можем подставить значение c в одно из уравнений системы:
\[
\frac{4a}{5} = \sqrt{{a^2 - (2\left(\frac{4a}{5}\right) - a)^2}}
\]
\[
\frac{16a^2}{25} = \sqrt{{a^2 - \left(\frac{8a}{5}\right)^2}}
\]
\[
\frac{16a^2}{25} = \sqrt{{a^2 - \frac{64a^2}{25}}}
\]
\[
\frac{16a^2}{25} = \sqrt{{\frac{561a^2}{625}}}
\]
\[
\frac{256a^4}{625} = \frac{561a^2}{625}
\]
\[
256a^4 = 561a^2
\]
\[
256a^4 - 561a^2 = 0
\]
\[
a^2(256a^2 - 561) = 0
\]

Из этого уравнения мы видим, что a = 0
или \(\sqrt{{\frac{256a^2}{561}}} = \pm a = \pm \sqrt{{\frac{256}{561}}}\).

Если a = 0, уравнение эллипса будет вырождаться в две вертикальные прямые.

Если \(\sqrt{{\frac{256}{561}}}\), мы можем выбрать a как положительное значение и найти соответствующее значение b из уравнения a + b = 2c:
\[
a = \sqrt{{\frac{256}{561}}}
\]
\[
b = 2c - a = 2 \cdot \frac{4a}{5} - \sqrt{{\frac{256}{561}}} = \frac{8}{5} \cdot \frac{4}{5} - \sqrt{{\frac{256}{561}}}
\]

Таким образом, уравнение эллипса будет:
\[
\frac{{(x - h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y - k)^2}}{{b^2}} = 1
\]
где (h, k) - координаты центра эллипса, a = \(\sqrt{{\frac{256}{561}}}\) и b = \(\frac{8}{5} \cdot \frac{4}{5} - \sqrt{{\frac{256}{561}}}\).

Надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам понять, как получить уравнение эллипса с заданными фокусами и суммой полуосей. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!