Каково угловое ускорение ротора шахтного электродвигателя, если он останавливается через 10 секунд после выключения?

Для решения данной задачи нам понадобятся следующие формулы и понятия:

1) Угловое ускорение $\alpha$ ротора вычисляется как изменение угловой скорости $\omega$ ротора, деленное на время $\mathrm{\Delta }t$ за которое это изменение произошло:
$$\alpha =\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{\mathrm{\Delta }t}$$

2) Угловая скорость $\omega$ ротора равна изменению угла поворота $\theta$ ротора, деленному на время $\mathrm{\Delta }t$:
$$\omega =\frac{\mathrm{\Delta }\theta }{\mathrm{\Delta }t}$$

3) Угол поворота $\theta$ ротора зависит от количества сделанных оборотов ротора $N$ и угловой дуги $\varphi$ на последнем обороте:
$\theta =2\pi N+\varphi$

Теперь приступим к решению задачи.

У нас дано, что угловое ускорение ротора равно -10 рад/с${}^2$ и время, за которое ротор останавливается, составляет 10 секунд.
То есть, $\mathrm{\Delta }t=10$ сек.

Используя формулу для углового ускорения, подставим известные значения в формулу:
$$-10{\text{рад/с}}^2=\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{10\text{сек}}$$

Перемножим обе стороны на 10 сек:
$\mathrm{\Delta }\omega =-100$ рад/с

Теперь у нас есть изменение угловой скорости $\mathrm{\Delta }\omega$ за $\mathrm{\Delta }t$ секунд.

Для дальнейшего решения нам нужно знать начальную угловую скорость ${\omega }_0$ ротора.
Возьмем, что ротор вращается с постоянной угловой скоростью ${\omega }_0$ до его остановки.
Таким образом, $\mathrm{\Delta }\omega ={\omega }_0-0$
или ${\omega }_0=\mathrm{\Delta }\omega =-100$ рад/с.

Теперь у нас есть начальная угловая скорость ${\omega }_0$ ротора.

Для вычисления количества сделанных оборотов ротора $N$, используем формулу для угла поворота $\theta$ и подставим известные значения:
$-100\text{рад/с}\cdot 10\text{сек}=2\pi N+\varphi$

Угловая дуга $\varphi$ на последнем обороте равна 0, так как ротор останавливается после окончания последнего оборота.
То есть, $\varphi =0$.

Упростим уравнение:
$-1000\text{рад}=2\pi N$

Теперь разделим обе стороны на $2\pi$:
$N=\frac{-1000\text{рад}}{2\pi }$

Используем приближенное значение для числа $\pi \approx 3.14$ (можно округлить до двух знаков после запятой).
Подставим известные значения и вычислим $N$:
$N\approx \frac{-1000\text{рад}}{2\cdot 3.14}$
$N\approx -159.24$

Таким образом, ротор сделал приблизительно -159 оборотов до того, как он остановился.

Ответ: Угловое ускорение ротора шахтного электродвигателя равно -10 рад/с${}^2$. Ротор сделал приблизительно -159 оборотов до того, как он остановился.