Каково среднее расстояние от Солнца до Сатурна, если Сатурн обращается вокруг Солнца за 29,46 земных лет, а Марс

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать формулу, которая связывает период обращения планеты вокруг Солнца с её средним расстоянием до Солнца. Формула имеет вид:

\[ T^2 = \frac{{4\pi^2R^3}}{{G(M + m)}} \]

где:
- \( T \) - период обращения планеты (в нашем случае это период обращения Сатурна), выраженный в секундах
- \( R \) - среднее расстояние планеты до Солнца, выраженное в метрах
- \( G \) - гравитационная постоянная, приблизительно равная \( 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2} \)
- \( M \) - масса Солнца, примерно равная \( 1.989 \times 10^{30} \, \text{кг} \)
- \( m \) - масса планеты (в нашем случае это масса Сатурна), выраженная в кг

Мы можем подставить известные значения для Марса в эту формулу и решить её относительно \( R \). Затем мы можем использовать найденное значение для \( R \) и период Сатурна, чтобы найти среднее расстояние от Солнца до Сатурна.

Для начала, заменим известные значения в формуле для Марса:

\[ (1.88 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60)^2 = \frac{{4\pi^2R^3}}{{G(M + m_M)}} \]

Где \( m_M \) - масса Марса, выраженная в кг. Нам дано, что \( R \) равно 228 и \( m_M \) равно массе Земли, приблизительно равной \( 5.972 \times 10^{24} \) кг. Решим эту формулу относительно \( R \):

\[ R^3 = \frac{{(1.88 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60)^2 \cdot G \cdot (M + m_M)}}{{4\pi^2}} \]

\[ R = \sqrt[3]{\frac{{(1.88 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60)^2 \cdot G \cdot (M + m_M)}}{{4\pi^2}}} \]

Подставим наши значения:

\[ R = \sqrt[3]{\frac{{(1.88 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60)^2 \cdot 6.674 \times 10^{-11} \cdot (1.989 \times 10^{30} + 5.972 \times 10^{24})}}{{4\pi^2}}} \]

После вычисления найденное значение для \( R \) составляет:

\[ R \approx 227.92 \, \text{млн км} \]

Теперь перейдем к расстоянию от Солнца до Сатурна. Мы знаем, что период обращения Сатурна составляет 29,46 земных лет, что примерно равно 886,7 саросам (среднее время между повторениями одного и того же события, связанного с планетой, например, полным оборотом). Чтобы найти среднее расстояние от Солнца до Сатурна, мы можем использовать формулу снова, заменив период \( T \) на 886,7 сароса и \( R \) на наше найденное значение:

\[ (886.7 \cdot T_{\text{Земли}})^2 = \frac{{4\pi^2R_{\text{Сатурн}}^3}}{{G(M + m_{\text{Сатурн}})}} \]

\[ R_{\text{Сатурн}}^3 = \frac{{(886.7 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60)^2 \cdot G \cdot (M + m_{\text{Сатурн}})}}{{4\pi^2}} \]

\[ R_{\text{Сатурн}} = \sqrt[3]{\frac{{(886.7 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60)^2 \cdot G \cdot (M + m_{\text{Сатурн}})}}{{4\pi^2}}} \]

Заменим значения:

\[ R_{\text{Сатурн}} = \sqrt[3]{\frac{{(886.7 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60)^2 \cdot 6.674 \times 10^{-11} \cdot (1.989 \times 10^{30} + m_{\text{Сатурн}})}}{{4\pi^2}}} \]

Теперь остается заменить \( m_{\text{Сатурн}} \) на массу Сатурна, которая равна примерно \( 5.683 \times 10^{26} \) кг, и вычислить:

\[ R_{\text{Сатурн}} \approx 1.429 \, \text{млрд км} \]

Таким образом, среднее расстояние от Солнца до Сатурна составляет примерно 1.429 миллиарда километров.