Каково соотношение площадей треугольника, если его высота делит основание в отношении 4:5?

Для начала, давайте введем обозначения. Пусть \(h\) - высота треугольника, \(b\) - длина основания треугольника. Мы знаем, что высота делит основание в отношении 4:5, т.е.

\[
\frac{h}{b} = \frac{4}{5}
\]

Теперь нам нужно найти соотношение площадей треугольника. Заметим, что площадь треугольника можно вычислить как \(S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot b\).

Давайте построим другой треугольник, у которого высота в 4 раза меньше, чем исходная высота, и основание в 4 раза меньше, чем исходное основание. Таким образом, для нового треугольника:

\[
h" = \frac{h}{4}, \quad b" = \frac{b}{4}
\]

Площадь нового треугольника можно вычислить аналогичным образом:

\[
S" = \frac{1}{2} \cdot h" \cdot b" = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{h}{4}\right) \cdot \left(\frac{b}{4}\right)
\]

Подставляем известное значение \(\frac{h}{b} = \frac{4}{5}\) в формулу для площади нового треугольника:

\[
S" = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{4}{5}\right) \cdot h \cdot b = \frac{16}{100} \cdot \frac{h}{b} \cdot h \cdot b = \frac{16}{100} \cdot (h \cdot b)
\]

Таким образом, видим, что площадь нового треугольника равна \(\frac{16}{100}\) от площади исходного треугольника.

Таким образом, соотношение площадей треугольников составляет 16:100, или упрощая, 4:25.

Это значит, что площадь нового треугольника составляет \(\frac{4}{25}\) от площади исходного треугольника.