Каково соотношение периодов обращения спутников t2/t1, если их орбитальные радиусы связаны как r2/r1

Данная задача связана с законами Кеплера, которые описывают движение небесных тел, включая спутники и планеты. Законы Кеплера установлены великим немецким астрономом Иоганном Кеплером в XVII веке.

Период обращения (время, за которое спутник совершает один полный оборот вокруг центрального тела) можно выразить через орбитальный радиус (расстояние от центра центрального тела до спутника) с помощью следующей формулы:

\[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{a^3}{G \cdot M}}\]

где T - период обращения, a - полуось орбиты (равна среднему геометрическому от орбитальных радиусов), G - гравитационная постоянная, M - масса центрального тела.

Для простоты подсчетов, допустим, что масса центрального тела не изменяется. Таким образом, для двух спутников с орбитальными радиусами r1 и r2 соответственно, периоды обращения T1 и T2 будут следующими:

\[T1 = 2\pi\sqrt{\dfrac{r1^3}{G \cdot M}}\]
\[T2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{r2^3}{G \cdot M}}\]

Так как орбитальные радиусы связаны таким образом: r2/r1, мы можем выразить одну переменную через другую:

\[r2 = r1\cdot k\]

где k - коэффициент, связывающий орбитальные радиусы.

Теперь мы можем подставить выражение для r2 в формулу для T2:

\[T2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{(r1\cdot k)^3}{G \cdot M}}\]

Упрощая данную формулу, получим:

\[T2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{k^3\cdot r1^3}{G \cdot M}} = k\cdot T1\]

Таким образом, соотношение периодов обращения спутников t2/t1 равно просто коэффициенту связывающему орбитальные радиусы:

\[t2/t1 = k\]

Итак, данное соотношение показывает, что период обращения спутника пропорционален орбитальному радиусу, и коэффициент k отражает это соотношение. Если k = 2, то второй спутник будет двигаться вдвое быстрее первого.

Надеюсь, это пошаговое объяснение поможет вам лучше понять задачу и соотношение периодов обращения спутников в зависимости от их орбитальных радиусов. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!