Каково соотношение периодов обращения спутников t2 и t1, если они вращаются вокруг некоторой планеты по орбитам

Чтобы найти соотношение периодов обращения спутников \( t_2 \) и \( t_1 \), которые вращаются вокруг некоторой планеты по орбитам с радиусами, связанными соотношением \( \frac{r_2}{r_1} \), воспользуемся законом Кеплера третьего, который гласит, что квадрат периода обращения спутника пропорционален кубу большой полуоси его орбиты.

Давайте обозначим периоды обращения спутников как \( t_1 \) и \( t_2 \), а радиусы их орбит как \( r_1 \) и \( r_2 \).

Исходя из закона Кеплера, можем записать соотношение следующим образом:

\[
\frac{t_1^2}{t_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}
\]

Теперь, чтобы найти искомое соотношение периодов, давайте упростим это выражение. Для этого умножим обе стороны уравнения на \( t_2^2 \) и \( r_2^3 \):

\[
t_1^2 \cdot r_2^3 = t_2^2 \cdot r_1^3
\]

И выполнив корневое извлечение от обеих частей уравнения, получим:

\[
\frac{t_1}{t_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^{\frac{3}{2}}
\]

Таким образом, соотношение периодов обращения спутников можно найти, возводя отношение радиусов их орбит в степень \( \frac{3}{2} \).

Например, если \( \frac{r_2}{r_1} = \frac{2}{3} \), то:

\[
\frac{t_1}{t_2} = \left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{3}{2}} \approx 0.68
\]

Таким образом, период обращения первого спутника будет примерно в 0.68 раза больше, чем период обращения второго спутника.