Каково соотношение между радиусами окружностей, если радиус одной окружности составляет 4 см, а радиус другой

Чтобы определить соотношение между радиусами окружностей, которые имеют заданные радиусы и расположены на плоскости с определенным расстоянием между центрами, воспользуемся геометрическими свойствами окружностей.

Для начала давайте представим себе данную ситуацию. У нас есть две окружности, одна из которых имеет радиус 4 см, а другая окружность имеет радиус 2,5 см. Пусть центр первой окружности называется \(O_1\), центр второй окружности - \(O_2\), а расстояние между центрами равно \(d\). Мы хотим найти соотношение между этими радиусами.

Давайте рассмотрим треугольник, образованный радиусами первой и второй окружностей, а также отрезком, соединяющим их центры. Обозначим точку пересечения этого отрезка с первой окружностью как \(A\), а точку пересечения с второй окружностью - как \(B\).

Так как отрезок \(O_1 O_2\) - это отрезок, соединяющий центры окружностей, то мы знаем, что он равен заданному расстоянию между центрами. Пусть это расстояние равно \(d\). Также, по определению окружности, отрезки \(OA\) и \(OB\) равны радиусам соответствующих окружностей - 4 см и 2,5 см соответственно.

Теперь давайте рассмотрим развернутое расстояние от центра первой окружности \(O_1\) до точки \(A\), а также от центра второй окружности \(O_2\) до точки \(B\). Обозначим длину развернутого расстояния от \(O_1\) до \(A\) как \(x\), а длину развернутого расстояния от \(O_2\) до \(B\) как \(y\).

Заметим, что \(x + y = d\), так как оба развернутых расстояния в сумме дают заданное расстояние между центрами.

Теперь давайте посмотрим на геометрическое свойство треугольника. Мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику \(AO_1 B\) и получить следующее уравнение:

\[x^2 + 4^2 = y^2 + 2,5^2\]

Это уравнение основано на том факте, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.

Если мы решим это уравнение относительно \(x\) или \(y\), то получим соотношение между радиусами окружностей. Давайте решим его относительно \(x\):

\[x^2 = y^2 + 2,5^2 - 4^2\]
\[x^2 = y^2 + 6,25 - 16\]
\[x^2 = y^2 - 9,75\]

Теперь заменим \(x + y\) в уравнении \(x^2 + y^2 = d^2\) на \(x\) и \(9,75 + y^2\) на \(x^2\):

\[x^2 + (x^2 + 9,75) = d^2\]
\[2x^2 + 9,75 = d^2\]

В итоге, у нас получилось:

\[2x^2 + 9,75 = d^2\]

Получается, что соотношение между радиусами окружностей \(R_1\) и \(R_2\), равно отношению квадратов развернутых расстояний \(x\) и \(y\) к заданному расстоянию между центрами окружностей \(d\):

\[\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \frac{x^2}{y^2} = \frac{2x^2}{2y^2} = \frac{2x^2 + 9,75}{2y^2 + 9,75} = \frac{d^2}{2y^2 + 9,75}\]

Давайте подставим значения радиусов \(R_1 = 4\) см, \(R_2 = 2,5\) см и расстояния между центрами окружностей \(d\) в эту формулу:

\[\left(\frac{4}{2,5}\right)^2 = \frac{d^2}{2y^2 + 9,75}\]

\[\frac{16}{6,25} = \frac{d^2}{2y^2 + 9,75}\]

\[\frac{256}{6,25} = d^2\]

Решим это уравнение относительно \(d\):

\[d^2 = \frac{256}{6,25}\]
\[d = \sqrt{\frac{256}{6,25}}\]
\[d \approx 8,128\]

Таким образом, соотношение между радиусами окружностей равно \(\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 \approx \frac{16}{6,25} \approx 2,56\) при расстоянии между центрами окружностей \(d \approx 8,128\).