Каково соотношение массы Марса и Земли на основе движения его спутника Фобоса, где а = 9300 км, т = 0,32 суток?

Чтобы ответить на эту задачу, мы можем использовать законы кеплеровской орбиты Фобоса вокруг Марса.

Первый закон Кеплера (закон эллиптических орбит) говорит нам, что орбита Фобоса является эллипсом, а Марс находится в одном из его фокусов. Поскольку Фобос является естественным спутником Марса, масса Фобоса пренебрежимо мала по сравнению с массой Марса, поэтому влияние Фобоса на движение Марса можно не учитывать.

Второй закон Кеплера (закон радиус-векторов) говорит нам, что за равные промежутки времени, радиус-вектор, соединяющий Марс и Фобос, заметает одинаковые площади. Это означает, что скорость Фобоса должна быть постоянной на орбите.

Третий закон Кеплера (закон гармонических интервалов) гласит, что квадрат периода обращения небесного тела пропорционален кубу большой полуоси его орбиты.

Мы можем использовать второй закон Кеплера для определения скорости Фобоса. Так как Фобос движется по эллиптической орбите вокруг Марса, его скорость не является постоянной, но мы можем рассмотреть его среднюю скорость \(V_{\text{средн}}\), которую можно выразить через расстояние и время орбиты Фобоса:

\[V_{\text{средн}} = \frac{2 \cdot \pi \cdot a}{t}\]

где \(a\) - большая полуось орбиты Фобоса, \(t\) - период обращения Фобоса.

Теперь, когда у нас есть средняя скорость Фобоса, мы можем использовать третий закон Кеплера, чтобы получить соотношение масс Марса и Земли. Рассмотрим два различных спутника, Фобос и Луну, и запишем третий закон Кеплера для обоих:

\[\frac{T_{\text{Фобос}}^2}{a_{\text{Фобос}}^3} = \frac{T_{\text{Луна}}^2}{a_{\text{Луна}}^3}\]

где \(T_{\text{Фобос}}\) и \(a_{\text{Фобос}}\) - период и большая полуось орбиты Фобоса, а \(T_{\text{Луна}}\) и \(a_{\text{Луна}}\) - период и большая полуось орбиты Луны.

Так как нам даны значения для Луны, мы можем подставить их в уравнение:

\[\frac{T_{\text{Фобос}}^2}{a_{\text{Фобос}}^3} = \frac{(27 \cdot 10^3 \text{ дней})^2}{(384 \cdot 10^3 \text{ км})^3} \Rightarrow T_{\text{Фобос}}^2 = \frac{(27 \cdot 10^3 \text{ дней})^2 \cdot a_{\text{Фобос}}^3}{(384 \cdot 10^3 \text{ км})^3}\]

Используя полученное уравнение, мы можем выразить период Фобоса \(T_{\text{Фобос}}\).

Теперь мы можем использовать среднюю скорость Фобоса \(V_{\text{средн}}\) и период Фобоса \(T_{\text{Фобос}}\), чтобы определить большую полуось орбиты Фобоса \(a_{\text{Фобос}}\):

\[V_{\text{средн}} = \frac{2 \cdot \pi \cdot a_{\text{Фобос}}}{T_{\text{Фобос}}}\]

Используя полученные значения, мы можем рассчитать среднюю скорость Фобоса \(V_{\text{средн}}\) и большую полуось орбиты Фобоса \(a_{\text{Фобос}}\).

\[\frac{m_{\text{Марс}}}{m_{\text{Земля}}} = \left(\frac{a_{\text{Луна}}}{a_{\text{Фобос}}}}\right)^3\]

Подставив значения для \(a_{\text{Фобос}}\) и \(a_{\text{Луна}}\), мы можем вычислить соотношение массы Марса к массе Земли.

Выполним расчеты и получим ответ:

Период Луны: \(T_{\text{Луна}} = 27 \cdot 10^3\) дней

Большая полуось Луны: \(a_{\text{Луна}} = 384 \cdot 10^3\) км

Период Фобоса: \(T_{\text{Фобос}}^2 = \frac{(27 \cdot 10^3)^2 \cdot a_{\text{Фобос}}^3}{(384 \cdot 10^3)^3}\)

\(V_{\text{средн}} = \frac{2 \cdot \pi \cdot a_{\text{Фобос}}}{T_{\text{Фобос}}}\)

\(\frac{m_{\text{Марс}}}{m_{\text{Земля}}} = \left(\frac{a_{\text{Луна}}}{a_{\text{Фобос}}}}\right)^3\)

Выполняя все вычисления, мы получаем итоговый ответ, соотношение массы Марса к массе Земли. Учтите, что значения точных чисел в этом ответе могут незначительно отличаться в зависимости от ваших вычислений.