Каково смещение (см), когда кинетическая энергия маятника равна его потенциальной энергии? Амплитуда колебаний равна

Давайте рассмотрим задачу о смещении маятника, когда его кинетическая энергия равна потенциальной энергии. Допустим, амплитуда колебаний равна \(A\).

Мы знаем, что кинетическая энергия маятника может быть выражена как:

\[ E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2 \],

где \(m\) - масса маятника и \(v\) - его скорость.

Потенциальная энергия маятника, связанная с его положением, может быть выражена через смещение от положения равновесия таким образом:

\[ E_{\text{пот}} = m g h \],

где \(g\) - ускорение свободного падения, а \(h\) - высота (смещение) маятника от положения равновесия.

Так как кинетическая энергия равна потенциальной энергии, мы можем записать:

\[ \frac{1}{2} m v^2 = m g h \].

Для удобства, допустим, что маятник движется в положительном направлении оси \(y\), поэтому смещение \(h\) также будет положительным.

Теперь решим уравнение относительно смещения \(h\):

\[ v^2 = 2 g h \].

Мы можем связать скорость в точке максимального смещения с амплитудой колебаний \(A\). В точке максимального смещения маятник имеет нулевую скорость. По закону сохранения механической энергии, сумма кинетической и потенциальной энергий должна быть постоянной на протяжении всего колебания:

\[ E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}} = \text{const} \Rightarrow m g A + \frac{1}{2} m v_{\text{макс}}^2 = \text{const} \],

где \(v_{\text{макс}}\) - скорость маятника в точке максимального смещения.

Если мы пренебрежем потерями энергии при колебаниях, то можно заключить, что в точке максимального смещения маятник несет всю энергию в форме потенциальной энергии (\(E_{\text{кин}} = 0\)), значит:

\[ m g A = \frac{1}{2} m v_{\text{макс}}^2 \].

Так как \(v_{\text{макс}} = 0\), можно записать:

\[ m g A = 0 \Rightarrow A = 0 \],

что означает, что амплитуда колебаний должна быть равна нулю.

В данном случае мы получили, что при равенстве кинетической и потенциальной энергий маятника, амплитуда колебаний должна быть нулевой. То есть маятник практически не будет колебаться, а будет находиться в положении равновесия.