Каково скалярное произведение векторов DC · BC и OB в прямоугольнике ABCD, где диагонали пересекаются в точке O, AB=2

Хорошо, давайте начнем с первой части задачи. Нам дан прямоугольник ABCD, в котором диагонали пересекаются в точке O. Давайте нарисуем этот прямоугольник для лучшего понимания:

       A

       |

       |

       |

  ---- O ----

       |

       |

       |

       B

Мы хотим найти скалярное произведение векторов DC и BC. Для начала давайте определим эти векторы.

Вектор DC представляет собой направление от точки D до точки C, а вектор BC - от точки B до точки C. Чтобы найти эти векторы, нам нужно вычесть координаты начальной точки из координат конечной точки каждого вектора.

Зная, что AB = 2, мы можем заключить, что BC = AB, потому что BC - это одна из сторон прямоугольника ABCD, а AB - это другая сторона.

Теперь мы знаем, что DC и BC - это векторы, а их длина равна 2.

Давайте вычислим скалярное произведение векторов DC и BC. Скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой:

\[DC \cdot BC = |DC| \cdot |BC| \cdot \cos(\theta)\]

где \(|DC|\) и \(|BC|\) - длины векторов DC и BC соответственно, а \(\theta\) - угол между ними.

Мы уже определили, что длина векторов DC и BC равна 2, поэтому они сокращаются в формуле. Нам остается только найти угол \(\theta\), который является углом между векторами DC и BC.

Мы знаем, что \(\angle CAD = 30^\circ\). Заметим, что угол \(\angle CAD\) и угол \(\angle BAC\) являются вертикальными углами, поэтому эти углы равны. Таким образом, \(\angle BAC = 30^\circ\).

Теперь, чтобы найти угол \(\theta\), мы можем использовать тот факт, что сумма углов треугольника равна 180°. Мы уже знаем, что \(\angle BAC = 30^\circ\), поэтому давайте обозначим неизвестный угол \(\theta_1\), а третий угол треугольника обозначим как \(\theta_2\). Тогда \(\theta_1 + \theta_2 + 30^\circ = 180^\circ\), откуда следует, что \(\theta_1 + \theta_2 = 150^\circ\).

Теперь давайте рассмотрим треугольник OCB. Угол \(\theta_1\) - это угол между векторами DC и BC, и он выражен следующим образом: \(\theta_1 = 180^\circ - \angle BOC\).

Поскольку у нас есть треугольник OCB, мы знаем, что сумма его углов также равна 180°. Предположим, что угол \(\angle BOC\) равен \(\theta_2\). Тогда \(\theta_1 = 180^\circ - \theta_2\).

Таким образом, мы имеем следующее уравнение: \(180^\circ - \theta_2 + \theta_2 = 150^\circ\).

Решая это уравнение, мы находим, что \(\theta_2 = 30^\circ\).

Теперь мы можем вычислить угол \(\theta_1\): \(\theta_1 = 180^\circ - \theta_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\).

Теперь у нас есть все необходимые компоненты для вычисления скалярного произведения векторов DC и BC:

\[DC \cdot BC = 2 \cdot 2 \cdot \cos(150^\circ)\]

Теперь давайте вычислим значение этого выражения:

\[DC \cdot BC = 4 \cdot \cos(150^\circ)\]

Чтобы вычислить значение \(\cos(150^\circ)\), мы можем использовать таблицу значений тригонометрических функций или калькулятор. По таблице мы находим, что \(\cos(150^\circ) = -0.866\).

Теперь можем вычислить скалярное произведение векторов DC и BC:

\[DC \cdot BC = 4 \cdot (-0.866) = -3.464\]

Итак, скалярное произведение векторов DC и BC равно -3.464.

Теперь перейдем ко второй части задачи, где нам необходимо найти скалярное произведение векторов OB.

Поскольку O - это точка пересечения диагоналей ABCD, вектор OB эквивалентен вектору OA. Давайте обозначим длину вектора OA как \(|OA|\), а угол между векторами OB и OA как \(\theta_3\).

Теперь, используя формулу для скалярного произведения векторов, мы получаем:

\[OB \cdot OA = |OB| \cdot |OA| \cdot \cos(\theta_3)\]

Мы уже знаем, что длина вектора OA равна 2 (так как AB = 2), и нам нужно найти значение угла \(\theta_3\).

Обратите внимание, что угол \(\theta_3\) - это угол между векторами OB и OA.

Однако мы также знаем, что угол \(\theta_3\) - это угол между диагональю AC и стороной AB прямоугольника ABCD.

Мы знаем, что угол \(\angle CAD\) равен 30°, а угол \(\angle BAC\) равен 30°, как мы уже установили ранее.

Таким образом, эти углы - это один и тот же угол, и мы можем обозначить его как \(\theta_3\).

Теперь мы можем использовать формулу для скалярного произведения:

\[OB \cdot OA = |OB| \cdot |OA| \cdot \cos(\theta_3)\]

Подставляя известные значения, мы получаем:

\[OB \cdot OA = 2 \cdot 2 \cdot \cos(30^\circ)\]

Вычислим значение \(\cos(30^\circ)\) с использованием таблицы значений тригонометрических функций или калькулятора. По таблице мы находим, что \(\cos(30^\circ) = 0.866\).

Подставляя это значение в выражение, мы получаем:

\[OB \cdot OA = 2 \cdot 2 \cdot 0.866 = 3.464\]

Итак, скалярное произведение векторов OB и OA равно 3.464.

Давайте подведем итоги:

Скалярное произведение векторов DC и BC равно -3.464 и скалярное произведение векторов OB и OA равно 3.464.

Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.