Каково решение неравенства при функции f(x) = 8x - x^2 - x^3/3, если f(x

Для начала, давайте запишем данную функцию \( f(x) = 8x - \frac{{x^2}}{3} - \frac{{x^3}}{3} \). Чтобы найти решение неравенства, нам нужно выяснить, при каких значениях \( x \) функция \( f(x) \) будет меньше или больше нуля.

Для этого неравенство \( f(x) > 0 \) мы можем преобразовать в неравенство \( 8x - \frac{{x^2}}{3} - \frac{{x^3}}{3} > 0 \). Чтобы это сделать, посмотрим на функцию и заметим, что у нее есть три коэффициента: 8, -1/3 и -1/3.

Приведем это неравенство к более удобному виду:
\[ x^3 + \frac{1}{3}x^2 - \frac{8}{3}x < 0 \]

Теперь мы можем попытаться разложить это неравенство на множители, чтобы упростить его и найти корни.

Если рассмотреть уравнение \( x^3 + \frac{1}{3}x^2 - \frac{8}{3}x = 0 \), мы можем заметить, что одним из его корней является x = 0. Поделим это уравнение на x и получим \( x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{8}{3} = 0 \).

Дальше, решим это уравнение методом дискриминанта.
Дискриминант уравнения \( x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{8}{3} = 0 \) равен
\( D = \frac{1}{3}^2 - 4(-\frac{8}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{32}{3} = \frac{289}{9} \).

Так как дискриминант больше нуля, у уравнения два корня. Найдем их:

\[ x_1,2 = \frac{{-\frac{1}{3} \pm \sqrt{\frac{289}{9}}}}{2} = \frac{{-\frac{1}{3} \pm \frac{17}{3}}}{2} \]

Таким образом, у нас есть три корня: \( x = 0 \), \( x = \frac{8}{3} \) и \( x = -6 \).

Теперь давайте построим таблицу знаков функции \( f(x) \), чтобы определить, где она положительна и отрицательна:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x & x < -6 & -6 < x < 0 & x > \frac{8}{3} \\
\hline
f(x) & + & - & + \\
\hline
\end{array}
\]

В результате мы видим, что функция \( f(x) \) положительна при \( x < -6 \) и \( x > \frac{8}{3} \), а отрицательна при \( -6 < x < 0 \).

Таким образом, решение данного неравенства \( f(x) > 0 \) состоит из двух интервалов: \( x < -6 \) и \( x > \frac{8}{3} \).