Каково расстояние от точки M(7; 9; 7) до прямой, заданной уравнением (x - 2)/4 = (y - 1)/3 = z/2?

Чтобы найти расстояние от точки M до прямой, мы можем использовать формулу расстояния от точки до прямой в трехмерном пространстве. Эта формула основана на проекции вектора, соединяющего точку и прямую, на вектор, параллельный прямой.

Для начала, найдем вектор, параллельный заданной прямой. Поскольку уравнение прямой задано в виде пропорций, мы можем выбрать любой допустимый коэффициент пропорциональности и найти координаты вектора. Давайте выберем коэффициент 2 и найдем вектор.

Пусть \(\vec{v}\) будет вектором, параллельным прямой. Тогда можем записать:
\[\vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}.\]

Затем найдем вектор, направленный от точки M вдоль заданной прямой. Для этого вычислим разность координат между точкой M и произвольной точкой на прямой, например, точкой A(2, 1, 0).

Пусть \(\vec{u}\) будет вектором, направленным от точки M вдоль прямой. Тогда можем записать:
\[\vec{u} = \begin{bmatrix} 7 - 2 \\ 9 - 1 \\ 7 - 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 7 \end{bmatrix}.\]

Теперь мы готовы использовать формулу для нахождения расстояния от точки до прямой. Формула имеет вид:
\[d = \frac{{|\vec{v} \times \vec{u}|}}{{|\vec{v}|}},\]
где \(\vec{v} \times \vec{u}\) обозначает векторное произведение векторов \(\vec{v}\) и \(\vec{u}\), а \(|\vec{v}|\) обозначает длину вектора \(\vec{v}\).

Вычислим векторное произведение \(\vec{v} \times \vec{u}\):
\[\vec{v} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 3 & 2 \\ 5 & 8 & 7 \end{vmatrix}.\]

По основному определителю, получаем:
\[\vec{v} \times \vec{u} = \begin{bmatrix} (3 \cdot 7 - 2 \cdot 8) \\ (2 \cdot 5 - 4 \cdot 7) \\ (4 \cdot 8 - 3 \cdot 5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -18 \\ 7 \end{bmatrix}.\]

Теперь найдем длину вектора \(\vec{v}\):
\[|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{29}.\]

Подставим все значения в формулу расстояния:
\[d = \frac{{|-1 \cdot \vec{i} - 18 \cdot \vec{j} + 7 \cdot \vec{k}|}}{{\sqrt{29}}}.\]

Вычислим модуль векторного произведения:
\[\left|-1 \cdot \vec{i} - 18 \cdot \vec{j} + 7 \cdot \vec{k}\right| = \sqrt{(-1)^2 + (-18)^2 + 7^2} = \sqrt{370}.\]

Тогда расстояние от точки M до прямой равно:
\[d = \frac{{\sqrt{370}}}{{\sqrt{29}}} = \sqrt{\frac{{370}}{{29}}}.\]

Таким образом, расстояние от точки M до прямой составляет \(\sqrt{\frac{{370}}{{29}}}\) единиц длины.