Каково расстояние от точки k до плоскости aa1dd1, если известно, что ребро куба равно 8? Найдите это расстояние

Чтобы найти расстояние от точки \(k\) до плоскости \(aa1dd1\), нам необходимо использовать формулу для расстояния от точки до плоскости, которая выглядит следующим образом:

\[d = \frac{{|Ax + By + Cz + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

Где:
- \(A\), \(B\), и \(C\) - это коэффициенты заданного уравнения плоскости \(aa1dd1\),
- \(D\) - это свободный член уравнения плоскости,
- \(x\), \(y\), и \(z\) - это координаты точки \(k\),
- \(d\) - это искомое расстояние.

Чтобы использовать эту формулу, нам необходимо сначала найти коэффициенты \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) уравнения плоскости \(aa1dd1\). Для этого мы можем использовать известные координаты двух точек на плоскости \(aa1dd1\).

Так как ребро куба равно 8, мы можем взять две вершины куба, которые принадлежат плоскости \(aa1dd1\). Для примера, возьмем две вершины куба: \(a(0, 0, 0)\) и \(d1(8, 0, 0)\).

Используя координаты этих двух точек, мы можем найти коэффициенты уравнения плоскости \(aa1dd1\). Для этого, выразим векторы \(\overrightarrow{ad1}\) и \(\overrightarrow{dd1}\):

\(\overrightarrow{ad1} = \overrightarrow{d1} - \overrightarrow{a} = (8, 0, 0) - (0, 0, 0) = (8, 0, 0)\)

\(\overrightarrow{dd1} = \overrightarrow{d1} - \overrightarrow{d} = (8, 0, 0) - (x, y, z) = (8 - x, -y, -z)\)

Теперь найдем векторное произведение векторов \(\overrightarrow{ad1}\) и \(\overrightarrow{dd1}\):

\(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{ad1} \times \overrightarrow{dd1}\)

\(\overrightarrow{n} = (8, 0, 0) \times (8 - x, -y, -z)\)

Выполняя вычисления для векторного произведения, мы получаем:

\(\overrightarrow{n} = (-yz, (8 - x)z, -y(8 - x))\)

Так как вектор нормали \(\overrightarrow{n}\) перпендикулярен плоскости \(aa1dd1\), он должен быть параллелен коэффициентам \(A\), \(B\) и \(C\) уравнения плоскости. Следовательно, мы можем записать:

\(A = -y\), \(B = (8 - x)\), \(C = -y(8 - x)\)

Теперь остается только найти свободный член \(D\) уравнения плоскости. Для этого, подставим координаты точки \(a\) в уравнение плоскости:

\(D = -Ax - By - Cz\)

\(D = -0 \cdot x - 0 \cdot y - 0 \cdot z = 0\)

Теперь у нас есть все необходимые коэффициенты для расчета расстояния от точки \(k\) до плоскости \(aa1dd1\). Подставим значения в формулу для расстояния:

\[d = \frac{{|Ax + By + Cz + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}} = \frac{{|-yx + (8 - x)y - y(8 - x)z + 0|}}{{\sqrt{{(-y)^2 + (8 - x)^2 + (-y(8 - x))^2}}}}\]

Теперь вычислим это выражение. Учитывая, что расстояние должно быть неотрицательным, можно применить модуль к числителю:

\[d = \frac{{|y(x - 8) + y(8 - x)z|}}{{\sqrt{{y^2 + (8 - x)^2 + y^2(8 - x)^2}}}} = \frac{{|y(x - 8)(1 - z)|}}{{\sqrt{{y^2 + (8 - x)^2 + y^2(8 - x)^2}}}}\]

Таким образом, расстояние от точки \(k\) до плоскости \(aa1dd1\) равно \(\frac{{|y(x - 8)(1 - z)|}}{{\sqrt{{y^2 + (8 - x)^2 + y^2(8 - x)^2}}}}\).