Каково распределение числа сданных экзаменов студентом, если он сдает 6 экзаменов, каждый с вероятностью 0,5? Постройте

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение и построить ряд распределения для числа сданных экзаменов. Для начала давайте определим все возможные исходы и их вероятности.

Количество сданных экзаменов (X) может принимать значения от 0 до 6 (поскольку студент сдает 6 экзаменов). Вероятность каждого исхода можно вычислить с помощью формулы биномиального распределения

\[
P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\]

где \(n\) - количество экзаменов (в данном случае 6), \(k\) - количество сданных экзаменов, \(p\) - вероятность сдачи каждого экзамена (в данном случае 0,5), \(C(n,k)\) - количество сочетаний из \(n\) по \(k\), которое можно вычислить по формуле

\[
C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

Теперь мы можем рассчитать вероятности для каждого значения X.

Для \(X=0\):
\[
P(X=0) = C(6,0) \cdot 0.5^0 \cdot (1-0.5)^6
\]
\[
P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.5^6
\]
\[
P(X=0) = 0.015625
\]

Для \(X=1\):
\[
P(X=1) = C(6,1) \cdot 0.5^1 \cdot (1-0.5)^5
\]
\[
P(X=1) = 6 \cdot 0.5 \cdot 0.5^5
\]
\[
P(X=1) = 0.09375
\]

Продолжая этот процесс, мы можем вычислить вероятности для \(X=2\), \(X=3\), \(X=4\), \(X=5\) и \(X=6\).

Для \(X=2\):
\[
P(X=2) = C(6,2) \cdot 0.5^2 \cdot (1-0.5)^4
\]
\[
P(X=2) = 15 \cdot 0.25 \cdot 0.5^4
\]
\[
P(X=2) = 0.234375
\]

Для \(X=3\):
\[
P(X=3) = C(6,3) \cdot 0.5^3 \cdot (1-0.5)^3
\]
\[
P(X=3) = 20 \cdot 0.125 \cdot 0.5^3
\]
\[
P(X=3) = 0.3125
\]

Для \(X=4\):
\[
P(X=4) = C(6,4) \cdot 0.5^4 \cdot (1-0.5)^2
\]
\[
P(X=4) = 15 \cdot 0.0625 \cdot 0.5^2
\]
\[
P(X=4) = 0.234375
\]

Для \(X=5\):
\[
P(X=5) = C(6,5) \cdot 0.5^5 \cdot (1-0.5)^1
\]
\[
P(X=5) = 6 \cdot 0.03125 \cdot 0.5^1
\]
\[
P(X=5) = 0.09375
\]

Для \(X=6\):
\[
P(X=6) = C(6,6) \cdot 0.5^6 \cdot (1-0.5)^0
\]
\[
P(X=6) = 1 \cdot 0.015625 \cdot 1
\]
\[
P(X=6) = 0.015625
\]

Таким образом, мы получили ряд распределения для случайной величины "число сданных экзаменов студентом":

\[
\begin{align*}
X=0 & : 0.015625 \\
X=1 & : 0.09375 \\
X=2 & : 0.234375 \\
X=3 & : 0.3125 \\
X=4 & : 0.234375 \\
X=5 & : 0.09375 \\
X=6 & : 0.015625 \\
\end{align*}
\]

Это означает, например, что вероятность того, что студент сдаст все 6 экзаменов, составляет 0.015625, а вероятность сдачи 3 экзаменов составляет 0.3125.