Каково полное сопротивление цепи и сдвиг фаз между током и напряжением при частоте 50 Гц в схеме на рисунке

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать понятие импеданса и формулы, связанные с этим понятием. Импеданс - это обобщение понятия сопротивления, учитывающее влияние как активного сопротивления, так и реактивных элементов цепи, таких как индуктивность и емкость.

Итак, давайте первым шагом определим импеданс каждого элемента в нашей цепи. Импеданс индуктивности (Z_L) и импеданс конденсатора (Z_C) можно рассчитать следующим образом:

\[
Z_L = j\omega L
\]

\[
Z_C = \frac{1}{{j\omega C}}
\]

где j - мнимая единица, \(\omega\) - угловая частота (в радианах в секунду), L - индуктивность катушки и C - емкость конденсатора.

Теперь, чтобы рассчитать полное сопротивление цепи (Z), мы должны сложить импедансы каждого элемента:

\[
Z = R + Z_L + Z_C
\]

Теперь заменим числовые значения в формулах согласно условию задачи. Чтобы рассчитать угловую частоту \(\omega\), нужно умножить частоту (f) на 2\(\pi\):

\[
\omega = 2\pi f
\]

В нашем случае, частота (f) равна 50 Гц, поэтому

\[
\omega = 2\pi \cdot 50
\]

Теперь можно подставить значения в формулы:

\[
Z_L = j \cdot (2\pi \cdot 50) \cdot 50 \cdot 10^{-3}
\]

\[
Z_C = \frac{1}{{j \cdot (2\pi \cdot 50) \cdot 25 \cdot 10^{-6}}}
\]

И наконец, суммируем все значения:

\[
Z = 2 + Z_L + Z_C
\]

Это даст нам полное сопротивление цепи (Z). Также, чтобы рассчитать сдвиг фаз между током и напряжением, мы можем использовать формулу:

\[
\phi = \arctan\left(\frac{{\Im(Z)}}{{\Re(Z)}}\right)
\]

где \(\phi\) - сдвиг фаз (в радианах), \(\Im(Z)\) - мнимая часть импеданса и \(\Re(Z)\) - действительная часть импеданса.

Теперь, давайте решим числовые значения:

\[
Z_L = j \cdot (2\pi \cdot 50) \cdot 50 \cdot 10^{-3} = j \cdot 5\pi
\]

\[
Z_C = \frac{1}{{j \cdot (2\pi \cdot 50) \cdot 25 \cdot 10^{-6}}} = -j \cdot 8\pi
\]

\[
Z = 2 + Z_L + Z_C = 2 + j \cdot 5\pi -j \cdot 8\pi
\]

\[
Z = 2 -j \cdot 3\pi
\]

Теперь рассчитаем сдвиг фаз:

\[
\phi = \arctan\left(\frac{{\Im(Z)}}{{\Re(Z)}}\right) = \arctan\left(\frac{{-3\pi}}{{2}}\right)
\]

Таким образом, полное сопротивление цепи составляет \(2 - j \cdot 3\pi\) Ом, а сдвиг фаз между током и напряжением равен \(\arctan\left(\frac{{-3\pi}}{{2}}\right)\) радиан.